Exercícios Resolvidos de Equação da Quantidade de Movimento

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Enunciado

O irrigador de gramados horizontal da figura abaixo tem uma vazão d’água de 15,2   L / m i n , introduzida verticalmente pelo centro. Calcule ( a ) o torque resistente necessário para manter os braços sem rotação e ( b )   a rotação em r p m se não houver torque resistente.

Passo 1

a   O primeiro passo é estipular o volume de controle, que nesse caso será o próprio irrigador.

Assim a próxima coisa a se fazer é descobrir a velocidade de saída do fluido.

Como sabemos a vazão, descobrir a velocidade não é tão difícil se tivermos a secção reta.

Como temos duas saídas vamos somar a área das duas. Fazendo assim:

A = 2 . A s a í d a = 2 . π . 0,0063 2 4

A = 62,34.10 - 6   m 2

A velocidade é:

v = Q A = 15,2.10 - 3 60 . 1 62,34.10 - 6

Observe que passamos a vazão para m 3 / s .

v = 4,06   m / s

Agora vamos aplicar a equação de momento angular:

∑ M 0 = - T 0 . k ^ = r 2   x   V 2 m ˙ s a í d a - r 1   x   V 1 m ˙ e n t r a d a

Repare que o irrigador gira no sentido anti-horário, o que produz um torque positivo pela regra da mão direita. Como o torque aplicado é um torque resistente (para manter os braços sem rotação), então colocamos o sinal negativo para o torque na equação, para encontrar seu módulo

Lembra do principio da continuidade que falava que em um escoamento incompressível a vazão de entrada é igual a de saída, assim m ˙ e n t r a d a = m ˙ s a í d a   e que se for um escoamento permanente ρ   é constante e podemos escrever que m ˙ = ρ . Q

Beleza, então ficamos com:

- T 0 . k ^ = r 2   x   V 2 - r 1   x   V 1 m ˙

O que acontece é que nesse problema a velocidade de entrada e o braço de alavanca estão na mesma direção, assim o produto vetorial r 1   x   V 1 é nulo. Deixando só:

- T 0 . k ^ = r 2   x   V 2 . m ˙

Só que isso tudo só vale para um referencial inercial, e por isso a velocidade da saída será “ajustada” para um referencial inercial.

V 2 = V 0 - r . ω

Onde esse V 0 é a velocidade de entrada da água no irrigador e r . ω é a velocidade do irrigador na saída. A velocidade da água na saída é uma relação entre a de entrada (não estamos considerando perdas) e a do irrigador na saída 😉

Agora substituindo na equação que encontramos temos:

- T 0 . k ^ = r 2   x   V 0 - r . ω . m ˙

A vazão mássica é m ˙ = ρ . Q .

- T 0 . k ^ = r 2   x   V 0 - r . ω . ρ . Q

Agora só falta resolvermos o produto vetorial que temos:

r 2   x   V 0 - r . ω

Sabemos que r 2 é na direção y e a velocidade na direção x , assim lembrando que y   e s c a l a r   x é igual a - z , então temos:

r 2   x   V 0 - r . ω = - r 2 . V 0 + r 2 2 . ω k ^

Beleza, agora podemos terminar a equação:

- T 0 . k ^ = r 2   x   V 0 - r . ω . ρ . Q = - r 2 . V 0 + r 2 2 . ω k ^ . ρ . Q  

- T 0 = - r 2 . V 0 + r 2 2 . ω ρ . Q

Chegamos na equação que queríamos.

Nesse item queremos o torque para que o irrigador não gire, assim ω = 0 .

Então:

- T 0 = - r 2 . V 0 + r 2 2 . 0 ρ . Q

- T 0 = - r 2 . V 0 . ρ . Q

T 0 = r 2 . V 0 ρ . Q

Agora temos que substituir os valores que conhecemos

T 0 = 0,150   .   4,06   .   998   . 15,2.10 - 3 60

T 0 = 0,154   N m

Passo 2

b   Agora não há torque, assim temos:

- r 2 . V 0 + r 2 2 . ω ρ . Q = 0

- r 2 . V 0 + r 2 2 . ω = 0

r 2 . V 0 = r 2 2 . ω

V 0 = r 2 . ω

ω = V 0 r 2 = 4 0,150 = 26,67   r a d / s

Só falta deixar na unidade certa, uma rotação significa 2 π e 1   m i n = 60   s

Assim:

ω = 26,67.60 2 π ≈ 254   r p m

Resposta

a T 0 = 0,154   N m

b ω ≈ 254   r p m

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