Exercícios Resolvidos de Introdução a Vetores

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Enunciado

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrito pelas funções posição x 1 = t 2 + t + 1 , x 2 = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 = t + 3 e y 2 = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos.

b) Para t = 0   s , faça um esquema no plano cartesiano dos vetores r → 1 ( t ) , r → 2 ( t ) e r → 12 t . Calcule a distância entre as partículas.

Passo 1

Faaaaala pessoal, como vocês estão?

Nessa questão temos duas partículas se movimentando no plano do R 2 , o plano x y . Vimos, no item anterior, que o seu movimento pode ser representado pelos seguintes vetores no plano:

r → 1 t = t 2 + t + 1 i → + t + 3 j → r → 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 i → + 2 t + 2 j →

E, ainda, o vetor posição relativa entre as duas partículas é dada por:

r → 12 = t 2 - 3 t + 2 i → + t - 1 j →

A partir dessas informações, precisamos desenhar um esquema no plano cartesiano desses vetores quando t = 0   s . E, ainda, determinar a distância entre as partículas nesse instante, beleza?

Pra determinar a posição das partículas quando t = 0   s , basta substituirmos t = 0 na expressão de r → 1 ( t ) e r → 2 ( t ) . Já pra calcular a distância entre as partículas nesse instante, como já temos o vetor distância relativa, basta calcularmos o seu módulo nesse instante.

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando os vetores posição quando t = 0 .

Para a partícula 1 , temos:

r → 1 t = t 2 + t + 1 i → + t + 3 j →

Fazendo t = 0 , vem que:

r → 1 0 = 0 2 + 0 + 1 i → + 0 + 3 j →

Logo:

r → 1 = i → + 3 j →

Excelente!

Já para a segunda partícula, temos:

r → 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 i → + 2 t + 2 j →

Fazendo t = 0   s , vem que:

r → 2 t = 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 + 3 i → + 2 ⋅ 0 + 2 j →

Logo:

r → 2 = 3 i → + 2 j →

Massa! Agora é só desenharmos no plano cartesiano. No caso do vetor r → 1 , por exemplo, o nosso vetor encerra-se num ponto deslocado 1 unidade para a direita no eixo horizontal e 3 unidades para cima no eixo vertical.

Assim, vamos ter:

Muito bom 😊

Passo 3

Para esboçar a distância entre esses vetores, vamos calcular o módulo de r → 12 quanto t = 0   s .

Temos:

r → 12 ( t ) = t 2 - 3 t + 2 i → + t - 1 j →

Se t = 0   s , vem:

r → 12 0 = 2 i → - j →

Vamos então calcular o módulo desse vetor:

r → 12 0 = 2 2 + - 1 2

= 5

Prontinho! Essa é a distância entre as duas partículas quando t = 0   s 😊

Valeu pessoal!

Resposta

r → 1 = i → + 3 j →

r → 2 = 3 i → + 2 j →

d = 5

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