a Encontre o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   3 n x + 2 n  

Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Começamos observando que a série está centrada em x 0 = - 2 , já que x - x 0 = x + 2 .

Além disso, podemos identificar os coeficientes:

c n = - 1 n n   3 n

Passo 2

Ótimo, agora vamos aplicar o Teste da Razão:

L = lim n → ∞ ⁡   c n + 1 c n

L = lim n → ∞ ⁡   - 1 n + 1 ( n + 1 )   3 n + 1 - 1 n n   3 n

L = lim n → ∞ ⁡   n   3   ( n + 1 )   = 1 3

Passo 3

Assim, o raio de convergência é

R = 1 L = 3

o que significa que o intervalo de convergência é

x 0 - R < x < x 0 + R

- 2 - 3 < x < - 2 + 3

- 5 < x < 1

Passo 4

O último passo é verificar a convergência da série nos extremos:

Para x = - 5 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   3 n x + 2 n     x = - 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 3 n n   3 n    

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   3 n x + 2 n     x = - 5 = ∑ n = 1 ∞ 1 n      

Para você que conhece essa série e já sabe que ela é a série harmônica e, portanto, diverge, eis aqui uma breve explicação para você se gabar na prova:

O limite, quando n → ∞ , do termo geral pode ser calculado da seguinte forma:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0  

O teste da divergência não nos disse nada aqui :/ (se o limite tivesse dado diferente de 0 , poderíamos afirma que a série é divergente)

Mas se olharmos com mais cuidado essa série é uma p-série com p = 1 , ou seja, essa série diverge!

Passo 5

Para x = 1 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   3 n x + 2 n     x = 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n n   3 n  

∑ n = 1 ∞ - 1 n n   3 n x + 2 n     x = 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n    

Esta é uma série alternada! Nessa série:

b n = 1 n  

b n + 1 = 1 n + 1  

Temos que:

b n + 1 < b n

Para todo n. Além disso:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n   = 0

É, pois, convergente, pelo teste da série alternada.

Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é I = ( - 5 ,   1 ] .

Resposta

I = ( - 5 ,   1 ] .

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