7 . Sobre a série de potências ∑ n = 0 ∞ - 1 n x + 14 n n 2 + 1 podemos afirmar que seu raio de convergência R e seu intervalo de convergência I são:

Escolha uma opção:

a . R = 1 e   I = ( - 15,00 ,   - 13,00 )

b . R = 2 e I = [ - 15,00 ,   - 13,00 ]

c . R = 1 e I = [ - 15,00 ,   - 13,00 ]

d . R = 2 e I = ( - 15,00 ,   - 13,00 )

e . Converge em todo x real

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para encontramos o raio de convergência e o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de x para que isso seja verdade.

Passo 2

Vamos lá então, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x + 14 n + 1 ( n + 1 ) 2 + 1 ⋅ n 2 + 1 - 1 n x + 14 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 x + 14 ( n + 1 ) 2 + 1 ⋅ ( n 2 + 1 )

= lim n → ∞ ⁡ ( n 2 + 1 ) ( n + 1 ) 2 + 1 ⋅ - 1 x + 14

= x + 14 lim n → ∞ ⁡ ( n 2 + 1 ) ( n + 1 ) 2 + 1

= x + 14 lim n → ∞ ⁡ ( n 2 + 1 ) n 2 + 2 n + 2

Agora temos que resolver aquele limite.

Passo 3

Para resolver esse limite vamos isolar n 2 no numerador e no denominador, assim:

x + 14 lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 n 2 n 2 1 + 2 n + 2 n 2

= x + 14 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 1 + 2 n + 2 n 2

Quando n → ∞ os termos com n no denominador vão a zero então o limite fica igual a 1 , assim:

x + 14 < 1

Com Isso temos que R = 1 .

Passo 4

Agora para achar o intervalo de convergência, temos que avaliar os valores de x para que a inequação seja verdadeira, temos que:

x + 14 < 1

⇒ x < - 13

Ou

- x - 14 < 1

⇒ - x < 15

⇒ x > - 15

Então o intervalo de convergência é dado por ( - 15 ,   - 13 ) , agora temos que saber se o intervalo é fechado ou aberto, para isso teremos que testar esses limites do intervalo na nossa série e ver se ela converge ou não.

Se a série convergi para um dado limite o intervalo é fechado nele e se a série divergi o intervalo é aberto naquele limite.

Passo 5

Vamos avaliar a série em x = - 15 , temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 15 + 14 n n 2 + 1

⇒ ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 1

⇒ ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n n 2 + 1

⇒ ∑ n = 0 ∞ 1 n 2 + 1

E essa série converge, logo o intervalo é fechado em x = - 15

Agora vamos para x = - 13 , temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 13 + 14 n n 2 + 1

⇒ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 n n 2 + 1

⇒ ∑ n = 0 ∞ - 1 n n 2 + 1

E essa série converge, pelo teste da série alternada, logo o intervalo é fechado em x = - 1 3 .

Então a alternativa correta é letra c .

Resposta

c . R = 1 e I = [ - 15,00 ,   - 13,00 ]

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n