Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso exista:

b) lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( e x - 1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = x ln ⁡ ( e x - 1 ) quando o valor de x se aproxima muito de zero por valores positivos.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos:

0 ln ⁡ ( e 0 - 1 ) = 0 ln ⁡ ( 0 )

Só que o ln ⁡ ( 0 ) é indefinido, não está no domínio da função. Assim, temos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ e x - 1

Já que a gente não pode substituir 0 na função, vamos usar a regra de L’Hospital pra nos dar uma ajudinha, mas antes precisamos escrever a função como um quociente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ e x - 1 1 x

Derivando o numerador e o denominador separadamente, temos:

lim x → 0 + ⁡ e x - 1 + e x - 1 x 2

Simplificando, temos:

lim x → 0 + ⁡ - e x x 2 - 1 + e x

Ainda temos uma indeterminação, porque:

- e 0 ( 0 ) 2 - 1 + e 0 = - 1 ∙ 0 - 1 + 1 = 0 0

Então, vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → 0 + ⁡ - e x x 2 - 2 e x x e x

Inserindo o valor do limite agora:

- e 0 0 2 - 2 e 0 0 e 0 = - 1 ∙ 0 - 2 1 0 1

= 0 1 = 0

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( e x - 1 ) = 0

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