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Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

12. Sabendo-se que a função e x + y + z + x y z = 1 define implicitamente uma função z = f x , y de classe C 1 cujo gráfico está na vizinhança do ponto 0,0 , 0 determine a taxa de variação de f no ponto 0,0 , na direção e sentido do vetor 1,1 .

Passo 1

Na real, o que ele quer é a derivada direcional dessa função definida implicitamente. Ou seja, ele quer:

∂ f ∂ u P 0 = ∂ f ∂ x P 0 ,   ∂ f ∂ y P 0 ⋅ u u  

Então a gente precisa achar:

∂ f ∂ x 0,0   e   ∂ f ∂ y 0,0  

Passo 2

Vamos usar o teorema da função implícita:

Definindo nossos vetores: X = x , y

Y = z

Então vamos calcular:

G Y X , Y = ∂ g 1 ∂ z

Onde f 1 é a função f 1 = e x + y + z + x y z - 1 . Temos:

G Y X , Y = ∂ g 1 ∂ z = e x + y + z + x y

Passo 3

Agora vamos calcular:

G X X , Y = ∂ g 1 ∂ x ∂ g 1 ∂ y

Temos:

G X X , Y = e x + y + z + y z e x + y + z + x z

Passo 4

Vamos lembrar que :

f ' X = ∂ z ∂ x X ∂ z ∂ y X

Pelo teorema da função implícita:

f ' X = - G Y X , Y - 1 . G X X , Y

Nós vamos calcular isso daí para x = y = 0

Mas falta encontrar o valor de z . Jogando na equação temos:

e x + y + z + x y z = 1

e z = 1

Logo z = 0

Portanto:

f ' 0,0 = - G Y 0,0 , 0 - 1 . G X 0 , 0,0

Passo 5

Vamos encontrar:

G Y 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 + ( 0 ) ( 0 ) = 1

G X 0,0 , 0 = e 0 + 0 + 0 + 0 0 e 0 + 0 + 0 + 0 0 = 1   1

Passo 6

Substituindo:

f ' 0,0 = - G Y 0,0 , 0 - 1 . G X 0,0 , 0

f ' 0,0 = - 1 - 1 . 1   1 = - 1 - 1

Portanto:

∂ f ∂ x 0,0 = - 1   ;   ∂ f ∂ y 0,0 = - 1  

Passo 7

Agora basta fazer:

∂ f ∂ u 0,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ,   ∂ f ∂ y 0,0 ⋅ 1,1 1 2 + 1 2

Temos:

∂ f ∂ u 0,0 = - 1 ,   - 1 ⋅ 1,1 2 = - 2 2 = - 2

Resposta

Taxa de variação = - 2