Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

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Enunciado

Em relação à sequência s n n ∈ N dada por

s n = ∑ k = 1 n - 1 k - 1

É correto afirmar que

  1. Oscila entre 1 e 0
  2. Converge a 0
  3. Converge a 1
  4. Diverge para
  5. Diverge para - ∞

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?

Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei (ou termo geral) muda de exercício para exercício...

No nosso caso o termo geral é dado por

s n = ∑ k = 1 n - 1 k - 1

Aquele s n é a soma de todos os termos do somatório. Mas como assim? Se tivermos

k = 1   n = 3

Então nosso s n é:

s 3 = - 1 1 - 1 + - 1 2 - 1 + - 1 3 - 1 = 1 0 + - 1 2 + - 1 3 = 1 + 1 - 1 = 1

E se nosso n for outro? Não tem problema! Desde que ele seja um número natural (inteiro e positivo) está tudo bem!

s n é encontrado somando todos os termos desde - 1 1 - 1 até - 1 n - 1 , beleza?

Agora vamos voltar à nossa questão.

O problema nos deu essa sequência e perguntou qual das alternativas estão corretas:

  1. Oscila entre 1 e 0
  2. Converge a 0
  3. Converge a 1
  4. Diverge para
  5. Diverge para - ∞

O que ele quer saber é o comportamento dessa sequência quando n → ∞ ,   é isso que significa dizer se essa sequência diverge ou converge.

Uma sequência converge quando a soma dos termos vai convergindo para um número. E ela diverge quando a soma fica cada vez maior.

Ela oscila entre 0 e 1 quando o resultado da soma ora é 1 ora é 0.

Então para determinar qual alternativa está correta, precisamos olhar termo a termo. Vamos lá?

Passo 2

Vamos olhar a nossa sequência:

s n = ∑ k = 1 n - 1 k - 1

Para n = 1 temos

s 1 = - 1 1 - 1 = 1

Para n = 2 temos:

s 2 = - 1 1 - 1 + - 1 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Para n = 3 temos:

s 3 = - 1 1 - 1 + - 1 2 - 1 + - 1 3 - 1 = 1 - 1 + 1 = 1

Para n = 4 temos:

s 4 = - 1 1 - 1 + - 1 2 - 1 + - 1 3 - 1 + - 1 4 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0

E assim em diante...

E aí nossa soma de n termos

s n = - 1 1 - 1 + - 1 2 - 1 + … + + - 1 n - 1

Passo 3

Cada vez que adicionamos um termo a essa sequência, o valor da soma muda! Mas ele não muda muito, ele oscila entre 1 e 0!

Isso porque expoentes pares vão resultar em + 1 e expoentes ímpares vão resultar em - 1 . Aí sempre que fomos adicionando mais um termo, a soma que era 0 se torna 1 , e depois se torna 0 de novo, depois 1 ...

Sendo assim, a soma de n termos oscila entre 1 e 0, sem ter uma resposta definitiva. Tá bem?

E a alternativa correta é a (a)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a

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