Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de
Passo 1
Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:
A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos separar essa em duas:
Vamos calcular cada uma separadamente. Para a primeira, vamos lembrar que:
Então, nesse caso:
OK, mas qual é:
Aqui convém lembrarmos de uma propriedade dos cossenos:
Assim:
Como:
Temos:
Então, voltando para parte com exponencial:
Acabou? Não! Falta a segunda parte:
Seguindo a lógica da função que multiplica a exponencial:
Como:
Então:
Show, então temos:
Passo 2
Vamos calcular agora:
Vamos calcular a integral por partes e então determinar a transformada de Laplace. Então vamos lá. Seguindo a regra do LIATE (lembra dela?), temos:
Então:
Para a nova integral, vamos por partes novamente:
Assim, temos:
Logo:
Legal, agora vamos calcular a transformada de Laplace disso. Temos que, como é uma operação linear:
Como temos:
Então:
Com:
Ficamos:
Então temos:
Passo 3
Para acabar, temos:
Seguindo a mesma lógica anterior, temos:
Então, temos que:
Temos que:
Além disso, de forma geral:
Então:
Sendo:
Então, pela regra do quociente:
Logo:
Então: