Enunciado

Um piscicultor possui 5000 bagres em sua lagoa. O número de bagres aumenta 8 % ao mês e o agricultor retira 300 bagres por mês.

a) Mostre que a população de bagres P n depois n meses é dada recursivamente por:

P n = 1,08 P n - 1 - 300 ,   P o = 5000

b) Quantos bagres estão na lagoa depois de seis meses?

Passo 1

a) Então galera, de acordo com o enunciado sabemos que o número de bagres aumenta 8 % ao mês e que o agricultor retira 300 bagres por mês. Se escrevermos uma expressão para isso, teremos:

P 1 = P o + 8 % P o - 300

P 1 = 1,08 P o - 300

Ressaltando que isso é apenas para o primeiro mês. Para o segundo mês, teríamos:

P 2 = 1,08 P 1 - 300

Para o terceiro mês, teríamos:

P 3 = 1,08 P 2 - 300

Consegue perceber que a expressão se repete indefinidamente dependendo do mês? Escrevendo uma expressão geral, teremos:

P n = 1,08 P n - 1 - 300

Assim como queríamos demonstrar!

Passo 2

b) Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5   e   6 , uma vez que 6 é exatamente o valor que queremos. Sendo assim:

Para n = 1 :

P 1 = 1,08 P 1 - 1 - 300

P 1 = 1,08.5000 - 300 = 5100

Para n = 2 :

P 2 = 1,08 P 2 - 1 - 300

P 2 = 1,08.5100 - 300 = 5208

Para n = 3 :

P 3 = 1,08 P 3 - 1 - 300

P 3 = 1,08.5208 - 300 = 5325

Para n = 4 :

P 4 = 1,08 P 4 - 1 - 300

P 4 = 1,08.5325 - 300 = 5451

Para n = 5 :

P 5 = 1,08 P 5 - 1 - 300

P 5 = 1,08 . 5451 - 300 = 5587

E, por fim, para n = 6 :

P 6 = 1,08 P 6 - 1 - 300

P 6 = 1,08.5587 - 300 = 5734

Então depois de 6 meses 5734 bagres estarão na lagoa.

Resposta

b) 5734   b a g r e s

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Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequências a n e b n convergindo a p , com a n e b n pertencentes a D f para todo n , tais que lim n → + ∞ ⁡ f a n = L E lim n → + ∞ ⁡ f
Seja a sequência de termo geral a n , com a n0 para todo natural n . Sabe-se que lim n → + ∞ ⁡ a n = a , a real, e que a n + 1 = 1 1 + a n para todo n . Calcule a .
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.15. - 3 ,2 ,- 4 3 , 8 9 ,- 16 27 …
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.10. a 1 = 6 ,a n + 1 = a n n
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.14. 1 ,- 1 3 , 1 9 ,- 1 27 , 1 81 …