10 O estado fundamental do poço quadrado infinito é uma autofunção do momento? Se sim, qual é o seu momento? Se não, explique do poço quadrado por quê.
Passo 1
O enunciado pergunta se o estado fundamental do poço quadrado infinito é uma autofunção do momento e, em caso afirmativo, qual é o valor do momento; caso negativo, pede uma explicação por que não. Vou assumir o poço unidimensional padrão no intervalo
com paredes infinitas. As informações relevantes que vou usar (pegas do enunciado/definição do poço) são:
- A função de onda do estado fundamental é
e
fora do intervalo
.
- O operador momento na representação de posição é
O que o enunciado pede: decidir se
é autofunção de
; ou seja, se existe
tal que
. Se for, dar o valor
. Se não for, explicar claramente por quê (com argumentos matemáticos e físicos).
Passo 2
O que significa ser autofunção do momento?
Uma função é autofunção do operador
se ao aplicar
sobre ela obtém-se a mesma função multiplicada por um número (o autovalor), isto é:
Uma função
onde
seria o valor do momento (autovalor). Em posição,
. As autofunções de
no espaço livre são ondas planas da forma
com
. Observação importante: ondas planas não se tornam nulas nas fronteiras; portanto, para um sistema confinado com
é preciso verificar compatibilidade com essas condições de contorno.
Passo 3
Aplicando
diretamente no estado fundamental
(ação explícita para ver se é proporcional a
):
Calcule a derivada passo a passo:
Portanto
Compare com
. A função
não é proporcional a
em todo o intervalo
. Logo
não é um número vezes
. Conclusão imediata:
não é autofunção de
.
Passo 4
Argumento físico/operador extra (comportamento nas fronteiras e forma das autofunções):
As autofunções do operador momento são combinações lineares de (ondas planas). Essas funções não satisfazem a condição de contorno
exigida pelo poço infinito (uma onda plana não anula necessariamente nos dois pontos simultaneamente, exceto trivialmente se for nula). As condições de contorno do poço obrigam a soluções senoidais (seno e cosseno), que são superposições de ondas planas com momentos opostos
. Portanto os autofunções de energia do poço são combinações de autovetores de momento com sinais opostos, não autovetores únicos de momento.
As autofunções do operador momento são combinações lineares de
Passo 5
Outra maneira muito clara: usar valores esperados e incerteza do momento. Se
fosse autofunção de
com autovalor
, teria incerteza nula em
:
. Vamos calcular
e
para
.
Primeiro,
. Pela definição
Como
é real,
. Pelo motivo de paridade/realidade das senóides e pelas condições de contorno, ou fazendo integração por partes, obtém-se
(Intuição: o estado fundamental é uma combinação simétrica de componentes de momento
, dando média zero.)
Passo 6
Calcular
. Use a relação com o Hamiltoniano do poço infinito:
e no interior do poço
. Para um autestado de energia de valor
vale
, portanto sobre o intervalo interior
Assim
Sabendo que a energia do nível
no poço é
para
obtemos
Logo
Passo 7
Calcular a incerteza
. Pela definição
Já temos
e
. Então
Se
fosse autofunção de
a incerteza deveria ser zero; como
é não nula,
não pode ser autofunção de
.
Passo 8
Resumo interpretativo (didático e intuitivo):
- Matemática direta: aplicar
transforma em , não em múltiplo da própria função, logo não é autofunção. - Física/intuitiva: o estado ligado no poço é uma superposição de componentes de momento com sinais opostos (tem partes com
e ), por isso a média de é zero mas há dispersão (não conhecimento perfeito) do valor de . Autovalores de momento correspondem a estados de momento bem definido — ondas planas — que não satisfazem as condições de contorno do poço.
Resposta
Não. O estado fundamental
não é autofunção do operador momento
; aplicando
obtém-se uma função proporcional a
, não a
. Além disso
e
, portanto o momento não tem valor definido no estado fundamental.