10 O estado fundamental do poço quadrado infinito é uma autofunção do momento? Se sim, qual é o seu momento? Se não, explique do poço quadrado por quê.

Passo 1

O enunciado pergunta se o estado fundamental do poço quadrado infinito é uma autofunção do momento e, em caso afirmativo, qual é o valor do momento; caso negativo, pede uma explicação por que não. Vou assumir o poço unidimensional padrão no intervalo (0,a) com paredes infinitas. As informações relevantes que vou usar (pegas do enunciado/definição do poço) são:
  • A função de onda do estado fundamental é
\psi_1(x)=\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr), \qquad 0<x<a,
e \psi_1(x)=0 fora do intervalo (0,a).
  • O operador momento na representação de posição é
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
O que o enunciado pede: decidir se \psi_1(x) é autofunção de \hat p; ou seja, se existe \lambda tal que \hat p\psi_1(x)=\lambda\psi_1(x). Se for, dar o valor \lambda. Se não for, explicar claramente por quê (com argumentos matemáticos e físicos).

Passo 2

O que significa ser autofunção do momento?
Uma função \psi(x) é autofunção do operador \hat p se ao aplicar \hat p sobre ela obtém-se a mesma função multiplicada por um número (o autovalor), isto é:
\hat p\,\psi(x)=p_0\,\psi(x),
onde p_0 seria o valor do momento (autovalor). Em posição, \hat p=-i\hbar\,d/dx. As autofunções de \hat p no espaço livre são ondas planas da forma \exp(i k x) com p_0=\hbar k. Observação importante: ondas planas não se tornam nulas nas fronteiras; portanto, para um sistema confinado com \psi(0)=\psi(a)=0 é preciso verificar compatibilidade com essas condições de contorno.

Passo 3

Aplicando \hat p diretamente no estado fundamental \psi_1(x) (ação explícita para ver se é proporcional a \psi_1):
\hat p\,\psi_1(x)=-i\hbar\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)\right).
Calcule a derivada passo a passo:
\frac{d}{dx}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr)=\tfrac{\pi}{a}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr).
Portanto
\hat p\,\psi_1(x)=-i\hbar\sqrt{\tfrac{2}{a}}\cdot\tfrac{\pi}{a}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr).
Compare com \psi_1(x)=\sqrt{\tfrac{2}{a}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr). A função \cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr) não é proporcional a \sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{a}\bigr) em todo o intervalo (0,a). Logo \hat p\psi_1 não é um número vezes \psi_1. Conclusão imediata: \psi_1 não é autofunção de \hat p.

Passo 4

Argumento físico/operador extra (comportamento nas fronteiras e forma das autofunções):
As autofunções do operador momento são combinações lineares de \mathrm{e}^{i k x} (ondas planas). Essas funções não satisfazem a condição de contorno \psi(0)=\psi(a)=0 exigida pelo poço infinito (uma onda plana não anula necessariamente nos dois pontos simultaneamente, exceto trivialmente se for nula). As condições de contorno do poço obrigam a soluções senoidais (seno e cosseno), que são superposições de ondas planas com momentos opostos \pm \hbar k. Portanto os autofunções de energia do poço são combinações de autovetores de momento com sinais opostos, não autovetores únicos de momento.

Passo 5

Outra maneira muito clara: usar valores esperados e incerteza do momento. Se \psi_1 fosse autofunção de \hat p com autovalor p_0, teria incerteza nula em p: \Delta p=0. Vamos calcular \langle p\rangle e \langle p^2\rangle para \psi_1.
Primeiro, \langle p\rangle. Pela definição
\langle p\rangle=\int_0^a \psi_1^*(x)\,\hat p\,\psi_1(x)\,dx.
Como \psi_1(x) é real, \psi_1^*=\psi_1. Pelo motivo de paridade/realidade das senóides e pelas condições de contorno, ou fazendo integração por partes, obtém-se
\langle p\rangle=0.
(Intuição: o estado fundamental é uma combinação simétrica de componentes de momento \pm p, dando média zero.)

Passo 6

Calcular \langle p^2\rangle. Use a relação com o Hamiltoniano do poço infinito:
\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(x),
e no interior do poço V(x)=0. Para um autestado de energia de valor E_1 vale \hat H\psi_1=E_1\psi_1, portanto sobre o intervalo interior
\frac{\hat p^2}{2m}\psi_1=E_1\psi_1 \quad\Rightarrow\quad \hat p^2\psi_1=2mE_1\psi_1.
Assim
\langle p^2\rangle=\int_0^a \psi_1^*\,\hat p^2\,\psi_1\,dx = 2mE_1.
Sabendo que a energia do nível n no poço é
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m a^2},
para n=1 obtemos
E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}.
Logo
\langle p^2\rangle = 2m E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{a^2}.

Passo 7

Calcular a incerteza \Delta p. Pela definição
(\Delta p)^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2.
Já temos \langle p\rangle=0 e \langle p^2\rangle=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{a^2}. Então
\Delta p = \frac{\pi\hbar}{a}\neq 0.
Se \psi_1 fosse autofunção de \hat p a incerteza deveria ser zero; como \Delta p é não nula, \psi_1 não pode ser autofunção de \hat p.

Passo 8

Resumo interpretativo (didático e intuitivo):
  • Matemática direta: aplicar \hat p transforma \sin(\pi x/a) em \cos(\pi x/a), não em múltiplo da própria função, logo não é autofunção.
  • Física/intuitiva: o estado ligado no poço é uma superposição de componentes de momento com sinais opostos (tem partes com +p e -p), por isso a média de p é zero mas há dispersão (não conhecimento perfeito) do valor de p. Autovalores de momento correspondem a estados de momento bem definido — ondas planas — que não satisfazem as condições de contorno do poço.

Resposta

Não. O estado fundamental \psi_1(x)=\sqrt{2/a}\sin(\pi x/a) não é autofunção do operador momento \hat p=-i\hbar\,d/dx; aplicando \hat p obtém-se uma função proporcional a \cos(\pi x/a), não a \psi_1. Além disso \langle p\rangle=0 e \Delta p=\pi\hbar/a\neq0, portanto o momento não tem valor definido no estado fundamental.

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