6 (a) Suponha que f(x) e g(x) são duas autofunções de um operador \hat{Q} com o mesmo autovalor q. Demonstre que qualquer combinação linear de f e g é também autofunção de \hat{Q} com autovalor q.
(b) Verifique que f(x)=\exp (x) e g(x)=\exp (-x) são autofunções do operador d^{2} / d x^{2} com o mes- mo autovalor. Monte duas combinações lineares de f e g que sejam autofunções ortogonais no intervalo (-1,1).

Passo 1

O enunciado dá duas partes:
  • (a) Dados f(x) e g(x) que são autofunções do operador \hat{Q} com o mesmo autovalor q, mostrar que qualquer combinação linear a f + b g (com a,b escalares constantes) também é autofunção de \hat{Q} com autovalor q.
  • (b) Verificar que f(x)=\exp(x) e g(x)=\exp(-x) são autofunções do operador \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} com o mesmo autovalor; então montar duas combinações lineares de f e g que sejam autofunções e que sejam ortogonais no intervalo (-1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para (a): \hat{Q}f = q f e \hat{Q}g = q g.
  • Para (b): f(x)=\exp(x), g(x)=\exp(-x), operador \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} e intervalo de ortogonalidade (-1,1).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar claramente o que significa “autofunção” e “autovalor” (isso é importante para a prova).
Definição prática: uma função \varphi(x) é autofunção do operador linear \hat{Q} com autovalor q se, ao aplicar o operador, obtém-se simplesmente a própria função multiplicada por q, isto é
\hat{Q}\, \varphi = q\, \varphi.
Aqui q é um escalar (real ou complexo) e \hat{Q} é linear se para quaisquer funções u,v e escalares a,b vale
\hat{Q}(a u + b v) = a\,\hat{Q}u + b\,\hat{Q}v.
Essa linearidade do operador é a ferramenta que vamos usar para a demonstração de (a).

Passo 3

Demonstração de (a) passo a passo.
  • Hipóteses: \hat{Q}f = q f e \hat{Q}g = q g.
  • Considere uma combinação linear genérica
h(x)=a\,f(x)+b\,g(x),
onde a e b são constantes (escalars). Aplicamos \hat{Q} em h. Pela linearidade de \hat{Q} temos
\hat{Q}\,h = \hat{Q}\big(a f + b g\big) = a\,\hat{Q}f + b\,\hat{Q}g.
  • Substituindo as hipóteses \hat{Q}f = q f e \hat{Q}g = q g obtemos
\hat{Q}\,h = a\,(q f) + b\,(q g) = q\,(a f + b g) = q\,h.
Portanto h satisfaz a condição de autofunção com autovalor q.
Observação prática: a combinação trivial a=b=0 dá a função zero; normalmente não se conta a função zero como autofunção, mas para quaisquer a,b não simultaneamente zero a combinação é uma autofunção não nula. Esse resultado é a razão pela qual autovalores degenerados (mesmo autovalor para várias autofunções) têm um subespaço próprio: quaisquer combinações lineares permanecem na mesma família de autofunções.

Passo 4

Parte (b) — verificar que f(x)=\exp(x) e g(x)=\exp(-x) são autofunções de \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} e encontrar o autovalor.
  • Regras de derivação: para h(x)=\exp(kx) tem-se h'(x)=k\exp(kx) e h''(x)=k^{2}\exp(kx). Aqui k é constante.
  • Aplique ao caso f(x)=\exp(x) (aqui k=1):
f'(x)=\exp(x),\qquad f''(x)=\exp(x)=f(x).
Logo
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\, f = 1\cdot f,
ou seja f é autofunção com autovalor q=1.
  • Para g(x)=\exp(-x) (aqui k=-1):
g'(x)=-\exp(-x),\qquad g''(x)=(-1)^{2}\exp(-x)=\exp(-x)=g(x).
Logo
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\, g = 1\cdot g,
ou seja g também é autofunção com o mesmo autovalor q=1.
Portanto as duas funções têm o mesmo autovalor q=1, cumprindo a hipótese da parte (a).

Passo 5

Construção de combinações lineares que sejam autofunções: pela parte (a), quaisquer combinações lineares de f e g são autofunções de \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} com autovalor 1. Duas escolhas naturais (simples e usuais) são as combinações par/ímpar:
u(x)=\operatorname{cosh} x = \frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}, \qquad v(x)=\operatorname{sinh} x = \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}.
Essas são apenas versões escaladas de e^{x}\pm e^{-x}; como combinações lineares de f e g elas são autofunções com autovalor 1.
(Se preferir sem fator 1/2: u(x)=\exp(x)+\exp(-x) e v(x)=\exp(x)-\exp(-x) também servem, apenas com um fator global.)

Passo 6

Verificação da ortogonalidade de u e v no intervalo (-1,1).
  • Definição prática de ortogonalidade: duas funções u e v são ortogonais no intervalo (-1,1) se o produto interno
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1} u(x)\,v(x)\,dx
for igual a zero.
  • Observe as paridades:
    • \operatorname{cosh} x é função par (isto é, \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh} x).
    • \operatorname{sinh} x é função ímpar (isto é, \operatorname{sinh}(-x)=-\operatorname{sinh} x).
  • Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Logo
\int_{-1}^{1} \operatorname{cosh} x\,\operatorname{sinh} x\,dx = 0.
Assim u e v são ortogonais em (-1,1).
Alternativa direta (sem usar paridade): multiplicando as formas sem os fatores 1/2,
(\exp x+\exp(-x))(\exp x-\exp(-x)) = \exp(2x)-\exp(-2x) = 2\operatorname{sinh}(2x),
e \operatorname{sinh}(2x) é ímpar, então
\int_{-1}^{1} 2\operatorname{sinh}(2x)\,dx = 0.
Mesma conclusão: ortogonalidade confirmada.

Passo 7

Resumo final e incentivo: concluímos (a) de forma geral usando a linearidade do operador; em (b) identificamos o autovalor comum q=1 para e^{x} e e^{-x} e construímos as combinações \operatorname{cosh} x e \operatorname{sinh} x (ou e^{x}\pm e^{-x}) que são autofunções e ortogonais em (-1,1). Vai dar certo na prova — lembra que explorar paridade costuma salvar tempo em integrais simétricas!

Resposta

(a) Para f,g com \hat{Q}f=qf e \hat{Q}g=qg vale
\hat{Q}(a f + b g)=a\,\hat{Q}f + b\,\hat{Q}g = a q f + b q g = q(a f + b g),
portanto qualquer combinação linear a f + b g é autofunção de \hat{Q} com autovalor q.
(b) \exp(x) e \exp(-x) têm autovalor q=1 para \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}. Duas combinações lineares ortogonais em (-1,1) são
u(x)=\operatorname{cosh} x=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}, \qquad v(x)=\operatorname{sinh} x=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2},
pois são autofunções com autovalor 1 e \int_{-1}^{1} u(x)v(x)\,dx=0.

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