6 (a) Suponha que
e
são duas autofunções de um operador
com o mesmo autovalor
. Demonstre que qualquer combinação linear de
e
é também autofunção de
com autovalor
.
(b) Verifique que
e
são autofunções do operador
com o mes- mo autovalor. Monte duas combinações lineares de f e g que sejam autofunções ortogonais no intervalo
.
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá duas partes:
-
(a) Dados
e que são autofunções do operador com o mesmo autovalor , mostrar que qualquer combinação linear (com escalares constantes) também é autofunção de com autovalor . -
(b) Verificar que
e são autofunções do operador com o mesmo autovalor; então montar duas combinações lineares de e que sejam autofunções e que sejam ortogonais no intervalo .
Informações relevantes fornecidas:
- Para (a):
e . - Para (b):
, , operador e intervalo de ortogonalidade .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar claramente o que significa “autofunção” e “autovalor” (isso é importante para a prova).
Definição prática: uma função
é autofunção do operador linear
com autovalor
se, ao aplicar o operador, obtém-se simplesmente a própria função multiplicada por
, isto é
Aqui
é um escalar (real ou complexo) e
é linear se para quaisquer funções
e escalares
vale
Essa linearidade do operador é a ferramenta que vamos usar para a demonstração de (a).
Passo 3
Demonstração de (a) passo a passo.
-
Hipóteses:
e . -
Considere uma combinação linear genérica
onde
e
são constantes (escalars). Aplicamos
em
. Pela linearidade de
temos
- Substituindo as hipóteses
e obtemos
Portanto
satisfaz a condição de autofunção com autovalor
.
Observação prática: a combinação trivial
dá a função zero; normalmente não se conta a função zero como autofunção, mas para quaisquer
não simultaneamente zero a combinação é uma autofunção não nula. Esse resultado é a razão pela qual autovalores degenerados (mesmo autovalor para várias autofunções) têm um subespaço próprio: quaisquer combinações lineares permanecem na mesma família de autofunções.
Passo 4
Parte (b) — verificar que
e
são autofunções de
e encontrar o autovalor.
-
Regras de derivação: para
tem-se e . Aqui é constante. -
Aplique ao caso
(aqui ):
Logo
ou seja
é autofunção com autovalor
.
- Para
(aqui ):
Logo
ou seja
também é autofunção com o mesmo autovalor
.
Portanto as duas funções têm o mesmo autovalor
, cumprindo a hipótese da parte (a).
Passo 5
Construção de combinações lineares que sejam autofunções: pela parte (a), quaisquer combinações lineares de
e
são autofunções de
com autovalor
. Duas escolhas naturais (simples e usuais) são as combinações par/ímpar:
Essas são apenas versões escaladas de
; como combinações lineares de
e
elas são autofunções com autovalor
.
(Se preferir sem fator
:
e
também servem, apenas com um fator global.)
Passo 6
Verificação da ortogonalidade de
e
no intervalo
.
- Definição prática de ortogonalidade: duas funções
e são ortogonais no intervalo se o produto interno
for igual a zero.
-
Observe as paridades:
-
é função par (isto é, ). -
é função ímpar (isto é, ).
-
-
Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Logo
Assim
e
são ortogonais em
.
Alternativa direta (sem usar paridade): multiplicando as formas sem os fatores
,
e
é ímpar, então
Mesma conclusão: ortogonalidade confirmada.
Passo 7
Resumo final e incentivo: concluímos (a) de forma geral usando a linearidade do operador; em (b) identificamos o autovalor comum
para
e
e construímos as combinações
e
(ou
) que são autofunções e ortogonais em
. Vai dar certo na prova — lembra que explorar paridade costuma salvar tempo em integrais simétricas!
Resposta
(a) Para
com
e
vale
portanto qualquer combinação linear
é autofunção de
com autovalor
.
(b)
e
têm autovalor
para
. Duas combinações lineares ortogonais em
são
pois são autofunções com autovalor
e
.