4 Considere { }^{1} o operador
\hat{Q}=i \frac{d}{d \varphi}
no qual \varphi é a coordenada polar usual em duas dimensões. (Esse operador pode surgir em um contexto fisico se estivermos estudando a ‘miçanga no anel circular’; veja o Problema 2.46 da Ref. [1]). O \hat{Q} é hermitiano? Encontre suas autofunções e seus autovalores.

  1. { }^{1} Griffiths [1], Exemplo 3.1.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar se o operador \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano.
  • Encontrar as autofunções e os autovalores de \hat{Q}.
Informações fornecidas e hipóteses que vou usar (todas retiradas do enunciado ou necessárias para formular o problema):
  • A coordenada angular é \varphi, a coordenada polar usual em duas dimensões, portanto \varphi\in[0,2\pi).
  • As funções de interesse são as funções de onda no círculo: normalmente exigimos que sejam quadrado-integráveis em [0,2\pi] e que sejam únicas (single-valued), isto é, tenham período 2\pi: \psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi).
  • Produto interno entre duas funções f e g no círculo será usado como
\langle f|g\rangle=\int_{0}^{2\pi} f^*(\varphi)\,g(\varphi)\,d\varphi.
Esses pontos são os dados relevantes; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Definição prática de hermiticidade que vou aplicar (explicação didática):
  • Um operador \hat{Q} é hermitiano se, para todas as funções f e g no domínio de \hat{Q},
\langle f|\hat{Q} g\rangle=\langle \hat{Q} f|g\rangle.
Isto significa que ao mover \hat{Q} de um lado para o outro dentro do produto interno, o resultado não muda — exceto possivelmente um termo de contorno que deve desaparecer se o operador for realmente hermitiano no domínio escolhido.
Vou aplicar essa definição ao nosso operador. Escrevo a expressão do produto interno e faço integração por partes passo a passo:
\langle f|\hat{Q} g\rangle=\int_{0}^{2\pi} f^*(\varphi)\, \left(i\frac{d}{d\varphi}g(\varphi)\right)\,d\varphi.
Fazer integração por partes elimina a derivada sobre g e deixa um termo de contorno mais um integral com derivada sobre f^*. A fórmula de integração por partes é
\int_{a}^{b} u\,v'\,d\varphi = \big[u v\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' v\,d\varphi.
Aqui escolha u=f^*(\varphi) e v'=i g'(\varphi) (portanto v=i g(\varphi) até constante). Aplicando:

Passo 3

Aplicando a integração por partes com cuidado:
\langle f|\hat{Q} g\rangle = \int_{0}^{2\pi} f^*(\varphi)\, i g'(\varphi)\,d\varphi = \big[ i f^*(\varphi) g(\varphi)\big]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \big(i f^*(\varphi)\big)' \, g(\varphi)\,d\varphi.
Calculo a derivada que aparece no integrando:
\big(i f^*(\varphi)\big)' = i\, (f^*(\varphi))' = i\, (f'(\varphi))^*.
Então o integral restante é
- \int_{0}^{2\pi} i (f'(\varphi))^* \, g(\varphi)\,d\varphi.
Agora reconheço a expressão do produto interno \langle \hat{Q} f|g\rangle. Primeiro escrevo \langle \hat{Q} f|g\rangle explicitamente:
\langle \hat{Q} f|g\rangle = \int_{0}^{2\pi} \big(i f'(\varphi)\big)^*\, g(\varphi)\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi} -i (f'(\varphi))^*\, g(\varphi)\,d\varphi.
Repare que o integral que obtivemos depois da integração por partes é exatamente \langle \hat{Q} f|g\rangle. Portanto juntando:
\langle f|\hat{Q} g\rangle = \big[i f^*(\varphi) g(\varphi)\big]_{0}^{2\pi} + \langle \hat{Q} f|g\rangle.

Passo 4

Interpretação do termo de contorno e condição para hermiticidade:
  • O operador será hermitiano se o termo de contorno for zero para todas as f,g do domínio, ou seja se
\big[i f^*(\varphi) g(\varphi)\big]_{0}^{2\pi}=0
para todas as f,g do domínio.
  • Uma maneira natural de garantir isso é exigir condições de contorno periódicas: f(0)=f(2\pi) e g(0)=g(2\pi). Então f^*(2\pi)g(2\pi)=f^*(0)g(0) e o termo de contorno é i[f^*(2\pi)g(2\pi)-f^*(0)g(0)]=0.
  • Conclusão: se o domínio for o espaço de funções quadrado-integráveis em [0,2\pi] que são diferenciáveis e periódicas (funções únicas no círculo), então \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano. Se permitir funções que não sejam periódicas, o termo de contorno pode não desaparecer e \hat{Q} falha em ser hermitiano.
Comentário prático e rápido: em linguagem física, esse é exatamente o caso do movimento no anel: a função de onda deve ser single-valued (mesmo valor em \varphi e \varphi+2\pi), e portanto o termo de contorno some — bingo, operador hermitiano.

Passo 5

Agora encontro as autofunções e autovalores resolvendo o problema de autovalor:
\hat{Q}\,\psi(\varphi)=q\,\psi(\varphi).
Escrevo a equação diferencial explícita:
i\frac{d}{d\varphi}\psi(\varphi)=q\,\psi(\varphi).
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear. Isolo a derivada e integro:
\frac{d\psi}{d\varphi}=-i q\,\psi,
cuja solução geral é
\psi(\varphi)=A\,e^{-i q \varphi},
onde A é constante de normalização complexa e q é o autovalor (a constante a determinar).

Passo 6

Impondo a condição de periodicidade (unicidade no ângulo) sobre \psi:
  • Exigimos \psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi) para que a função de onda seja bem definida no círculo.
  • Substituindo a solução:
A\,e^{-i q (\varphi+2\pi)} = A\,e^{-i q \varphi} \quad\Rightarrow\quad e^{-i q 2\pi}=1.
  • A condição e^{-i q 2\pi}=1 implica que -q 2\pi é um múltiplo inteiro de 2\pi, ou seja q\in\mathbb{Z}. Portanto os autovalores são números inteiros:
q_m = m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
  • As autofunções correspondentes (antes da normalização) são \psi_m(\varphi)=e^{-i m \varphi}.

Passo 7

Normalização e ortogonalidade (para uso em provas e aplicações):
  • Calculo o produto interno entre duas dessas funções:
\int_{0}^{2\pi} e^{-i m \varphi}\, e^{i n \varphi}\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi}\,d\varphi.
  • Se n=m essa integral vale 2\pi. Se n\neq m a integral é \dfrac{e^{i(n-m)\varphi}}{i(n-m)}\Big|_{0}^{2\pi}=0. Portanto
\int_{0}^{2\pi} e^{-i m \varphi}\, e^{i n \varphi}\,d\varphi = 2\pi\,\delta_{mn}.
  • Assim uma base ortonormal conveniente é
\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-i m \varphi},\qquad m\in\mathbb{Z},
com \langle \psi_m|\psi_n\rangle=\delta_{mn}.

Passo 8

Resumo final e interpretação física (curtinha e motivadora):
  • O operador \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano se agirmos sobre o domínio natural de funções periódicas (únicas) e diferenciáveis no círculo; nesse domínio ele é também auto-adjunto.
  • Seus autovalores são todos os inteiros e suas autofunções normalizadas formam uma base ortonormal no círculo. Isso é o que dá a quantização discreta do momento angular no problema do anel (lembrando que o momento angular L_z em unidades com \hbar=1 é essencialmente -\hat{Q} ou com sinais conforme convenção).

Resposta

Sim; \hat{Q} é hermitiano no domínio de funções diferenciáveis em [0,2\pi] com \psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi).
Autofunções: \displaystyle \psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-i m \varphi}, m\in\mathbb{Z}.
Autovalores: \displaystyle q_m=m, m\in\mathbb{Z}.

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