no qual \varphi é a coordenada polar usual em duas dimensões. (Esse operador pode surgir em um contexto fisico se estivermos estudando a ‘miçanga no anel circular’; veja o Problema 2.46 da Ref. [1]). O \hat{Q} é hermitiano? Encontre suas autofunções e seus autovalores.
{ }^{1} Griffiths [1], Exemplo 3.1.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar se o operador \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano.
Encontrar as autofunções e os autovalores de \hat{Q}.
Informações fornecidas e hipóteses que vou usar (todas retiradas do enunciado ou necessárias para formular o problema):
A coordenada angular é \varphi, a coordenada polar usual em duas dimensões, portanto \varphi\in[0,2\pi).
As funções de interesse são as funções de onda no círculo: normalmente exigimos que sejam quadrado-integráveis em [0,2\pi] e que sejam únicas (single-valued), isto é, tenham período 2\pi: \psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi).
Produto interno entre duas funções f e g no círculo será usado como
Isto significa que ao mover \hat{Q} de um lado para o outro dentro do produto interno, o resultado não muda — exceto possivelmente um termo de contorno que deve desaparecer se o operador for realmente hermitiano no domínio escolhido.
Vou aplicar essa definição ao nosso operador. Escrevo a expressão do produto interno e faço integração por partes passo a passo:
Fazer integração por partes elimina a derivada sobre g e deixa um termo de contorno mais um integral com derivada sobre f^*. A fórmula de integração por partes é
Interpretação do termo de contorno e condição para hermiticidade:
O operador será hermitiano se o termo de contorno for zero para todas as f,g do domínio, ou seja se
\big[i f^*(\varphi) g(\varphi)\big]_{0}^{2\pi}=0
para todas as f,g do domínio.
Uma maneira natural de garantir isso é exigir condições de contorno periódicas: f(0)=f(2\pi) e g(0)=g(2\pi). Então f^*(2\pi)g(2\pi)=f^*(0)g(0) e o termo de contorno é i[f^*(2\pi)g(2\pi)-f^*(0)g(0)]=0.
Conclusão: se o domínio for o espaço de funções quadrado-integráveis em [0,2\pi] que são diferenciáveis e periódicas (funções únicas no círculo), então \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano. Se permitir funções que não sejam periódicas, o termo de contorno pode não desaparecer e \hat{Q} falha em ser hermitiano.
Comentário prático e rápido: em linguagem física, esse é exatamente o caso do movimento no anel: a função de onda deve ser single-valued (mesmo valor em \varphi e \varphi+2\pi), e portanto o termo de contorno some — bingo, operador hermitiano.
Passo 5
Agora encontro as autofunções e autovalores resolvendo o problema de autovalor:
A condição e^{-i q 2\pi}=1 implica que -q 2\pi é um múltiplo inteiro de 2\pi, ou seja q\in\mathbb{Z}. Portanto os autovalores são números inteiros:
q_m = m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
As autofunções correspondentes (antes da normalização) são \psi_m(\varphi)=e^{-i m \varphi}.
Passo 7
Normalização e ortogonalidade (para uso em provas e aplicações):
Calculo o produto interno entre duas dessas funções:
\int_{0}^{2\pi} e^{-i m \varphi}\, e^{i n \varphi}\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi}\,d\varphi.
Se n=m essa integral vale 2\pi. Se n\neq m a integral é \dfrac{e^{i(n-m)\varphi}}{i(n-m)}\Big|_{0}^{2\pi}=0. Portanto
\int_{0}^{2\pi} e^{-i m \varphi}\, e^{i n \varphi}\,d\varphi = 2\pi\,\delta_{mn}.
Assim uma base ortonormal conveniente é
\psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-i m \varphi},\qquad m\in\mathbb{Z},
com \langle \psi_m|\psi_n\rangle=\delta_{mn}.
Passo 8
Resumo final e interpretação física (curtinha e motivadora):
O operador \hat{Q}=i\frac{d}{d\varphi} é hermitiano se agirmos sobre o domínio natural de funções periódicas (únicas) e diferenciáveis no círculo; nesse domínio ele é também auto-adjunto.
Seus autovalores são todos os inteiros e suas autofunções normalizadas formam uma base ortonormal no círculo. Isso é o que dá a quantização discreta do momento angular no problema do anel (lembrando que o momento angular L_z em unidades com \hbar=1 é essencialmente -\hat{Q} ou com sinais conforme convenção).
Resposta
Sim; \hat{Q} é hermitiano no domínio de funções diferenciáveis em [0,2\pi] com \psi(\varphi+2\pi)=\psi(\varphi).
Autofunções: \displaystyle \psi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-i m \varphi}, m\in\mathbb{Z}.
Autovalores: \displaystyle q_m=m, m\in\mathbb{Z}.