4.16 Determine o valor mínimo da indutância L em série necessária para proteger um SCR contra um d i / d t excessivo. O dispositivo tem um valor nominal d i / d t de 10 \mathrm{~A} / \mu \mathrm{s} e a fonte de tensão AC é de 220 V .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Valor nominal de taxa máxima de variação de corrente do SCR: \displaystyle \left(\frac{di}{dt}\right)_{\text{máx}} = 10\\ \mathrm{A}/\mu\mathrm{s}á.
    • Tensão de alimentação: \displaystyle V_{\text{rms}} = 220\\ \mathrm{V} (tensão AC eficaz).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor mínimo da indutância em série L necessária para limitar a \dfrac{di}{dt} e assim proteger o SCR contra um \dfrac{di}{dt} excessivo.

Passo 2

Princípio físico e fórmula-chave: a tensão instantânea em um indutor é proporcional à derivada temporal da corrente nele:
v_L(t) = L\,\frac{di(t)}{dt}.
Aqui:
  • v_L(t) é a tensão instantânea no indutor (em volts, \mathrm{V}),
  • L é a indutância (em henry, \mathrm{H}),
  • \dfrac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente (em \mathrm{A/s}).
Na comutação do SCR (quando ele passa de bloqueado para conduzindo), a queda de tensão do SCR logo após o disparo é muito baixa comparada à tensão da fonte; portanto, no instante inicial a tensão da fonte aparece essencialmente sobre a indutância. Assim, imediatamente após o disparo, a relação aproximada entre a tensão da fonte e a rampa de corrente é
\frac{di}{dt} \approx \frac{v_{\text{aplicada}}}{L}.
Para proteger o SCR deve-se garantir que essa \dfrac{di}{dt} não exceda o valor nominal do componente.

Passo 3

Determinar qual valor de tensão usar no numerador: a fonte é senoidal AC com valor eficaz V_{\text{rms}}=220\\ \mathrm{V}. A maior tensão instantânea que pode aparecer é a tensão de pico
V_m = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.
Usa-se V_m porque a pior situação (maior \dfrac{di}{dt}) ocorre quando o SCR é disparado no instante de pico da senóide. Agora calculemos V_m:
V_m = \sqrt{2}\cdot 220\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Converter a taxa nominal de variação de corrente para unidades do SI (A/s), para que as unidades casem:
\left(\frac{di}{dt}\right)_{\text{máx}} = 10\\ \mathrm{A}/\mu\mathrm{s} = 10\times 10^{6}\\ \mathrm{A/s} = 1{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{A/s}.á
Isolando L na relação \dfrac{di}{dt} = \dfrac{V}{L} obtemos:
L = \frac{V}{(di/dt)}.
Usaremos V=V_m e (di/dt)=(di/dt)_{\text{máx}}á para obter o menor L que garante que a rampa não ultrapasse a especificação do SCR:
L_{\min} = \frac{V_m}{\left(\dfrac{di}{dt}\right)_{\text{máx}}}.á

Passo 5

Agora coloque os números e calcule passo a passo.
Calcule V_m:
V_m = \sqrt{2}\cdot 220 \approx 1{,}41421356\cdot 220 \approx 311{,}127\\ \mathrm{V}.
Usando \left(\dfrac{di}{dt}\right)_{\text{máx}} = 1{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{A/s}á, temos
L_{\min} = \frac{311{,}127\\ \mathrm{V}}{1{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{A/s}} = 3{,}11127\times 10^{-5}\\ \mathrm{H}.
Converta para microsiemens (microhenry):
L_{\min} \approx 3{,}11127\times 10^{-5}\\ \mathrm{H} = 31{,}11\\ \mu\mathrm{H}.

Passo 6

Interpretação prática e observações (didático e útil para prova):
  • O valor calculado é o mínimo teórico assumindo que a tensão inteira V_m aparece sobre a indutância no instante de comutação e que a queda no SCR é desprezível. Na prática convém adicionar uma margem de segurança (por exemplo 20\%\!-\!50\%) e considerar a queda de tensão do SCR e outros transientes.
  • Se o SCR for disparado em um instante diferente do pico da senóide, a tensão instantânea e, portanto, a \dfrac{di}{dt} serão menores; porém a escolha de V_m garante proteção no pior caso.
  • Regra curta para provas: para limitar \dfrac{di}{dt} com uma fonte senoidal, use L \ge \dfrac{V_m}{(di/dt)_{\max}}, com V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.

Resposta

L_{\min} \approx 31{,}1\\ \mu\mathrm{H}

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