[2 pt] Calcule as integrais duplas:
(1,0)
\iint_{R} y e^{y^{2}-4 x} \mathrm{~d} A
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2,-1 \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y e^{y^{2}-4 x}\, \mathrm{d}A
no retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 2,\\\ -1\le y\le 1\}.
Informações dadas que vamos usar diretamente:
  • A função a integrar é y e^{y^{2}-4x}.
  • O domínio R é um produto de intervalos: x\in[0,2] e y\in[-1,1].
    A pergunta é simplesmente: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Como R é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini). Assim:
\iint_{R} y e^{y^{2}-4 x}\, \mathrm{d}A = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=-1}^{1} y e^{y^{2}-4 x}\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.
Vou manipular a integranda para ver sua estrutura:
y e^{y^{2}-4x} = \bigl(y e^{y^{2}}\bigr)\bigl(e^{-4x}\bigr).

Passo 3

Como a integranda é produto de uma função que depende só de y e outra que depende só de x, podemos separar a integral em produto de duas integrais simples:
\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=-1}^{1} y e^{y^{2}-4 x}\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \left(\int_{x=0}^{2} e^{-4x}\,\mathrm{d}x\right) \left(\int_{y=-1}^{1} y e^{y^{2}}\,\mathrm{d}y\right).
Essa propriedade vale sempre quando integrando e domínio se separam: \iint f(x)g(y)\,dA = \bigl(\int f(x)\,dx\bigr)\bigl(\int g(y)\,dy\bigr) no caso de retângulo.

Passo 4

Agora vamos analisar a integral em y:
\int_{y=-1}^{1} y e^{y^{2}}\,\mathrm{d}y.
Observe que a função y e^{y^{2}} é ímpar em relação a y: para todo y,
(-y) e^{(-y)^{2}} = -y e^{y^{2}}.
Uma propriedade útil: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\int_{y=-1}^{1} y e^{y^{2}}\,\mathrm{d}y = 0.
(Se quiser ver de outra forma: faça a substituição u=y^{2}, então du=2y\,dy e a integral vira \tfrac{1}{2}\int_{u=1}^{1} e^{u}\,du=0, pois os limites coincidem.)

Passo 5

Como a integral em y é zero, o produto das duas integrais também é zero, independentemente do valor da integral em x. Para fechar, só por completude, a integral em x seria finita:
\int_{x=0}^{2} e^{-4x}\,\mathrm{d}x = \left[-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-8}\bigr),
mas multiplicando por zero obtemos o resultado final.

Resposta

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