[2 pt] Calcule as integrais duplas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
no retângulo
Informações dadas que vamos usar diretamente:
- A função a integrar é
. - O domínio
é um produto de intervalos: e .
A pergunta é simplesmente: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Como
é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini). Assim:
Vou manipular a integranda para ver sua estrutura:
Passo 3
Como a integranda é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
, podemos separar a integral em produto de duas integrais simples:
Essa propriedade vale sempre quando integrando e domínio se separam:
no caso de retângulo.
Passo 4
Agora vamos analisar a integral em
:
Observe que a função
é ímpar em relação a
: para todo
,
Uma propriedade útil: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Portanto
(Se quiser ver de outra forma: faça a substituição
, então
e a integral vira
, pois os limites coincidem.)
Passo 5
Como a integral em
é zero, o produto das duas integrais também é zero, independentemente do valor da integral em
. Para fechar, só por completude, a integral em
seria finita:
mas multiplicando por zero obtemos o resultado final.