[2,0 pontos ] Assinale com a letra V para VERDADEIRO ou a letra \mathbf{F} para FALSO, nos itens abaixo, justificando cada resposta dada.
Defina 0=\varnothing, 1=0 \cup\{0\}, 2=1 \cup\{1\} e 3=2 \cup\{2\}.
(a) (\sqrt{ }) Verifica-se que (1 \cup 2) \cap 1=2.
(b) (F) Verifica-se que 3-(2-1)=2.
(c) (F) Verifica-se que 3-(2 \div 1)=2.

Passo 1

O enunciado dá as definições (pegue isso como dado):
0=\varnothing,\qquad 1=0\cup\{0\},\qquad 2=1\cup\{1\},\qquad 3=2\cup\{2\}.
As três afirmações a verificar são:
(a) \\ (1\cup 2)\cap 1 = 2\\ ?
(b) \\\ 3-(2-1)=2\\ ?
(c) \\\ 3-(2\div 1)=2\\ ?

Passo 2

Primeiro, escrevamos explicitamente o que são os conjuntos 0,1,2,3 (isso é padrão nas definições tipo von Neumann):
0=\varnothing.
1=0\cup\{0\}=\varnothing\cup\{\varnothing\}=\{\varnothing\}.
2=1\cup\{1\}=\{\varnothing\}\cup\{\{\varnothing\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
3=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\cup\{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}.
Para facilitar a leitura, quando conveniente vou usar a notação curta 0,1,2,3 entendendo que, por exemplo, 1=\{0\} e 2=\{0,1\}.

Passo 3

Revisão rápida das operações de conjuntos que usaremos:
  • União: A\cup B contém todos os elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
  • Interseção: A\cap B contém os elementos que estão em A e em B.
  • Diferença: A\setminus B (também escrito A-B) contém os elementos de A que não estão em B.
    Para comparar dois conjuntos X e Y verificamos se têm exatamente os mesmos elementos.
Agora calculemos o item (a).

Passo 4

Calcular (1\cup 2)\cap 1.
  • Primeiro 1\cup 2. Temos 1=\{0\} e 2=\{0,1\}, portanto
1\cup 2=\{0\}\cup\{0,1\}=\{0,1\}.
  • Agora intersectar com 1=\{0\}:
(1\cup 2)\cap 1=\{0,1\}\cap\{0\}=\{0\}.
Mas \{0\} é exatamente o conjunto 1, não é 2 (lembre: 2=\{0,1\}). Logo a igualdade (1\cup 2)\cap 1=2 é falsa. Conclusão do item (a): FALSO.

Passo 5

Calcular o item (b): 3-(2-1)=2\\ ?
  • Primeiro 2-1 significa 2\setminus 1. Como 2=\{0,1\} e 1=\{0\},
2-1=\{0,1\}\setminus\{0\}=\{1\}.
  • Agora 3-(2-1)=3\setminus\{1\}. Como 3=\{0,1,2\},
3\setminus\{1\}=\{0,1,2\}\setminus\{1\}=\{0,2\}.
Compare \{0,2\} com 2=\{0,1\}: eles não são iguais (o elemento 1 aparece em 2 mas não em \{0,2\}; em \{0,2\} aparece 2 que não está em 2 como elemento). Portanto a igualdade é falsa. Conclusão do item (b): FALSO.

Passo 6

Calcular o item (c): 3-(2\div 1)=2\\ ?
Aqui há ambiguidade no símbolo \div em contexto de conjuntos. Vou analisar as interpretações razoáveis e mostrar que em todas o resultado não é 2.
Possíveis interpretações:
  1. Interpretar \div como diferença de conjuntos, isto é 2\div1 significa 2\setminus1. Então 2\div1=\{1\} (mesmo cálculo do item (b)), e então 3-(2\div1)=3\setminus\{1\}=\{0,2\}, que não é 2. Resultado: FALSO.
  2. Interpretar \div como diferença simétrica (às vezes escrita A\triangle B ou A\oplus B). Então
2\triangle1=(2\setminus1)\cup(1\setminus2)=\{1\}\cup\varnothing=\{1\}.
De novo 3\setminus\{1\}=\{0,2\}\neq 2. Resultado: FALSO.
  1. Interpretar \div como divisão aritmética tratando 2,1 como números (ou seja 2/1=2) e depois entender 3-2 como diferença de conjuntos 3\setminus 2. Então 3\setminus 2=\{0,1,2\}\setminus\{0,1\}=\{2\}. Esse conjunto \{2\} é diferente de 2 (novamente, 2=\{0,1\}). Logo não dá 2. Resultado: FALSO.
Em todas as interpretações razoáveis a afirmativa é falsa. Conclusão do item (c): FALSO.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F

Exercícios relacionados