2104-O componente B é usado como combustivel em um reator nuclear e o conhecimento de sua taxa amódução é necessário para o projeto deste reator. A produção deste componente é feita através da exposiçào de esferas de urânio puro
em uma atmosfera pura de gás A , a 1000 K e 1 atm de pressilo. Na superficie das esferas de Urânio, ocorre a seguinte reação química:
Se Séfusividade mássica do gás A no componente B formado na superficie é
, desenvolva uma equaçäę para a taxa molar de formação de B , considerando:
a) (1,5 Pto) que a difusăo molar do gás A até a pastilha de Urânio é a etapa controladora do processo;
b) (1,0 Ptos) que o processo é limitado pela etapa de reação química, e esta é de primeira ordem.
a) (1,5 Pto) que a difusăo molar do gás A até a pastilha de Urânio é a etapa controladora do processo;
b) (1,0 Ptos) que o processo é limitado pela etapa de reação química, e esta é de primeira ordem.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei exatamente a reação e as condições do enunciado).
- Reação química na superfície das esferas de urânio:
. Logo, para cada mol de formado são consumidos mol de . - O gás no ambiente é puro
a e . - A difusividade mássica do par
em (na vizinhança da superfície) é . - Temos esferas de urânio; chamo o raio de cada esfera de
(o enunciado não dá o valor — a equação pedida deve depender de ). - O que se pede: desenvolver uma equação para a taxa molar de formação de
, isto é a vazão molar (unidade: mol/s) da esfera, em dois casos:
a) quando a difusão molar deaté a pastilha (superfície) é a etapa controladora;
b) quando o processo é limitado pela reação química na superfície, essa reação é de primeira ordem em.
Passo 2
Conceitos e equações que vamos usar (curta aula prática):
- Para gases ideais a concentração molar (mol de
por volume) no ambiente distante é dada por
onde
é a pressão parcial de
(aqui, gaso puro:
),
é a constante dos gases (usar
em unidades coerentes) e
a temperatura. Isso permite passar entre pressão e concentração quando for necessário.
- Difusão molecular em geometria esférica (regime estacionário, sem geração volumétrica): a equação de balanço para a concentração
é
onde
é a distância radial do centro da esfera. Essa equação tem solução da forma
.
- O fluxo molar total de
que entra na esfera (consumido na superfície) é constante e é dado por
Essa expressão vem de multiplicar o fluxo molar radial por área da esfera de raio
.
- Relação estequiométrica entre
e :
porque são necessários
mol de
por mol de
.
Passo 3
Resolver a equação de difusão em regime estacionário e obter a expressão geral de fluxo para uma esfera.
- Integrando a equação diferencial: como
é constante,
onde
é constante. Então
- O fluxo molar total é
Assim
é proporcional a
. Podemos integrar para achar
, mas para obter a taxa total só precisamos aplicar condições de contorno na expressão do fluxo integrada entre superfície e infinito:
- Integrando a expressão diferencial de
entre (superfície) e (bulk) dá
Substituindo
(obtido acima) resulta em
Rearranjando:
Essa é a expressão geral para o consumo molar de
por esfera quando há difusão molecular radial estacionária.
Passo 4
Caso (a) — difusão é a etapa controladora (reação superficial muito rápida).
- Se a reação na superfície é muito rápida comparada à difusão, a concentração de
na superfície tende a ser praticamente nula: . - Substituindo em
obtemos
- Pela estequiometria a taxa molar de formação de
é
- Podemos também escrever
em termos da pressão usando o gás ideal:
Portanto, uma forma alternativa é
Comentário prático: essa fórmula mostra que, no regime controlado por difusão, a taxa aumenta linearmente com
, com o raio
e com a concentração (ou pressão) de
no bulk.
Passo 5
Caso (b) — reação superficial é a etapa limitante e é de primeira ordem em
.
- Para uma reação de primeira ordem na superfície, é comum modelar a velocidade de consumo de
por unidade de área da superfície como
onde
tem unidades de
,
é a concentração de
na superfície (mol/m^3), e
é uma constante de velocidade superficial com unidades de velocidade (m/s) — isso porque
multiplicado por
dá mol/(m^2·s).
- Se a reação é muito mais lenta que a difusão, o transporte de
à superfície é rápido e praticamente não há queda de concentração, ou seja . - A taxa total de consumo de
em uma esfera é então a taxa por unidade de área multiplicada pela área da esfera:
- Pela estequiometria:
- Em termos de pressão usando o gás ideal:
Comentário prático: no regime controlado pela reação, a taxa cresce com a área superficial
(não com o raio linear como no caso difusão-controlada), e é proporcional ao parâmetro cinético
.
Passo 6
Verificação dimensional rápida (para dar confiança):
- No caso a)
. Unidades: , , . Produto: . OK. - No caso b)
. Unidades: , , → . OK.
Resposta
a)
\n
b)
b)