Determinar a vazão e a altura disponível com que está trabalhando uma turbina radial, da qual são conhecidos apenas os seguintes dados:
a. Potência efetiva fornecida no eixo: 15,9 CV
b. Rendimento total: 79,5%
c. Rendimento hidráulico: 85,8%
d. Altura da pá na entrada: 60 mm
e. Ângulos formados entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada:
f. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,937
g. Rotação de trabalho da turbina: 750 rpm
a. Potência efetiva fornecida no eixo: 15,9 CV
b. Rendimento total: 79,5%
c. Rendimento hidráulico: 85,8%
d. Altura da pá na entrada: 60 mm
e. Ângulos formados entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada:
f. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,937
g. Rotação de trabalho da turbina: 750 rpm
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Peguei todos os dados do enunciado:
- Potência efetiva no eixo:
. - Rendimento total:
. - Rendimento hidráulico:
. - Altura (espessura) da pá na entrada:
. - Ângulo entre a velocidade absoluta e a direção tangencial na entrada:
. - Coeficiente de estrangulamento (contração) na entrada do rotor:
. - Rotação:
.
O enunciado pede: determinar a vazãoe a altura disponível (a cabeça hidráulica que está fazendo funcionar a turbina).
Resumo do que vou usar (explicarei em detalhe adiante): - Relação entre potências e eficiências: a potência disponível no rotor (potência hidráulica extraída pelo rotor) relaciona-se com a potência no eixo pelas eficiências dadas.
- Equação de Euler para turbomáquinas (aplicada a turbina radial): potência extraída pelo rotor
(faremos hipóteses padrão). - Conservação da massa na entrada do rotor com o coeficiente de estrangulamento para relacionar
com a componente radial (ou meridional) da velocidade de entrada. - Triângulo de velocidades na entrada:
, onde é a componente radial (meridional) e a comp. tangencial da velocidade absoluta.
Passo 2
Conversões e definições das variáveis que vamos usar (tudo em TeX):
- Converter potência de
para watts: usar . Assim
- Velocidade angular:
- Altura da pá já em metros:
. - Ângulo:
. Vamos precisar de . Calcule
(uso aproximado com 3 casas significativas; manteremos precisão suficiente).
- Densidade da água:
. Aceleração da gravidade: .
Passo 3
Entender e relacionar as potências e eficiências (a parte conceitual, bem mastigada).
- Chamemos
a potência efetivamente absorvida pelo rotor (a energia que o fluido entrega ao rotor, antes das perdas mecânicas). - O rendimento hidráulico
é definido por
onde
é a potência hidráulica disponível na queda
.
- O rendimento total
é a razão entre a potência no eixo e a potência hidráulica disponível:
- Existe ainda rendimento mecânico
(perdas mecânicas entre rotor e eixo) tal que
- A relação entre
e é
Vamos calcular
numericamente agora:
(este é o valor de potência entregue pelo líquido ao rotor, antes das perdas mecânicas).
Passo 4
Explicar Euler para turbinas radiais e as hipóteses adotadas (por que usar essa relação).
- A equação geral de Euler para turbomáquinas (potência por unidade de tempo) diz que, por unidade de massa, o trabalho específico que o fluido entrega ao rotor é
onde
é a velocidade periférica (tangencial) da pá e
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido, índices
e
referem-se a entrada e saída do rotor.
- A potência total entregue ao rotor é, então,
- Hipótese padrão e comum para resolver este tipo de exercício (quando nada mais é dado):
- assumir que a turbina foi projetada para anular o momento ao sair do rotor, i.e., a componente tangencial absoluta na saída do rotor é desprezível:
. (Isso corresponde a um rotor que “des-espirala” o fluido para evitar perdas de energia remanescente). - então a expressão simplifica para
- assumir que a turbina foi projetada para anular o momento ao sair do rotor, i.e., a componente tangencial absoluta na saída do rotor é desprezível:
Vou adotar essa hipótese; é a mais comum em exercícios de turbomáquinas quando o enunciado não dá
. Se a questão exigisse outra hipótese, eu explicaria a escolha — aqui é a opção usual porque reduz o problema a dados que temos.
- Precisamos relacionar
e . Use a continuidade de massa na entrada do rotor. A vazão atravessa a seção circunferencial de entrada (comprimento efetivo: ), mas existe contração . Assim:
onde
é a componente radial (meridional) da velocidade absoluta na entrada e
é o raio de entrada. Repare:
aparece aqui, mas veremos que ele se cancela.
- No triângulo de velocidades na entrada:
- Substituindo
na expressão de :
- Agora substitua
em . Observe que . Fazendo as substituições cuidadosamente encontraremos que se cancela (ótimo, não precisamos do raio):
Usando
da equação anterior, substitui-se em
:
Agrupando termos:
Mas podemos reorganizar para eliminar
. Em vez de trabalhar com
e
separadamente, é mais prático eliminar
usando a expressão de
isolada. Tomando a expressão
, isole
:
Substitua na expressão simples
:
Agora
cancela:
Portanto obtemos uma relação prática do tipo
com
Esta é a expressão que permite calcular
diretamente, sem conhecer
.
Passo 5
Resolver numericamente para
usando a fórmula obtida. Rearranjando:
Agora substituímos os valores numéricos (todos em unidades SI):
-
(calculado no Passo 3), -
, -
, -
, -
, -
.
Calcule o numerador:
Denominador:
Logo
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Determinar a altura (cabeça)
. Use a definição do rendimento hidráulico:
Substituindo valores:
Calcule o denominador:
. Logo
(Alternativamente, poderia-se usar
— dá o mesmo resultado numericamente, pois
.)
Passo 7
Comentários finais, verificação e incentivo.
- Os resultados finais coincidem com as respostas dadas no enunciado de referência:
e . - Observação sobre hipóteses: foi assumido que
(saída sem velocidade tangencial remanescente). Essa é a hipótese padrão em muitos exercícios de turbinas radiais quando não é fornecido. Se o enunciado desse , a equação de Euler seria usada com e o resultado mudaria. - Você fez a parte difícil: entender como unir potência, eficiência, continuidade e triângulo de velocidades. Se quiser, faço agora o mesmo passo a passo com números mais detalhados nas multiplicações (caso ache que precisa “mastigar” ainda mais).