Determinar a vazão e a altura disponível com que está trabalhando uma turbina radial, da qual são conhecidos apenas os seguintes dados:
a. Potência efetiva fornecida no eixo: 15,9 CV
b. Rendimento total: 79,5%
c. Rendimento hidráulico: 85,8%
d. Altura da pá na entrada: 60 mm
e. Ângulos formados entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada: 21,6^{\underline{\circ}}
f. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,937
g. Rotação de trabalho da turbina: 750 rpm
\text { Resp. } Q=0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; H=10 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Peguei todos os dados do enunciado:
  • Potência efetiva no eixo: P_e = 15{,}9\\ \text{CV}.
  • Rendimento total: \eta_{t} = 79{,}5\% = 0{,}795.
  • Rendimento hidráulico: \eta_{h} = 85{,}8\% = 0{,}858.
  • Altura (espessura) da pá na entrada: h_1 = 60\\ \text{mm} = 0{,}060\\ \text{m}.
  • Ângulo entre a velocidade absoluta e a direção tangencial na entrada: \theta = 21{,}6^\circ.
  • Coeficiente de estrangulamento (contração) na entrada do rotor: \sigma = 0{,}937.
  • Rotação: n = 750\\ \text{rpm}.
    O enunciado pede: determinar a vazão Q e a altura disponível H (a cabeça hidráulica que está fazendo funcionar a turbina).
    Resumo do que vou usar (explicarei em detalhe adiante):
  • Relação entre potências e eficiências: a potência disponível no rotor (potência hidráulica extraída pelo rotor) relaciona-se com a potência no eixo pelas eficiências dadas.
  • Equação de Euler para turbomáquinas (aplicada a turbina radial): potência extraída pelo rotor P_{rotor} = \rho\,Q\,u_1\,c_{u1} (faremos hipóteses padrão).
  • Conservação da massa na entrada do rotor com o coeficiente de estrangulamento para relacionar Q com a componente radial (ou meridional) da velocidade de entrada.
  • Triângulo de velocidades na entrada: \tan\theta = \dfrac{c_{m1}}{c_{u1}}, onde c_{m1} é a componente radial (meridional) e c_{u1} a comp. tangencial da velocidade absoluta.

Passo 2

Conversões e definições das variáveis que vamos usar (tudo em TeX):
  • Converter potência de \text{CV} para watts: usar 1\\ \text{CV}=735{,}5\\ \text{W}. Assim
P_e = 15{,}9\cdot 735{,}5\\ \text{W} = 11694{,}45\\ \text{W}.
  • Velocidade angular:
\omega = 2\pi\frac{n}{60} = 2\pi\frac{750}{60} = 2\pi\cdot 12{,}5 = 25\pi\\ \text{rad/s}\approx 78{,}54\\ \text{rad/s}.
  • Altura da pá já em metros: h_1 = 0{,}060\\ \text{m}.
  • Ângulo: \theta = 21{,}6^\circ. Vamos precisar de \tan\theta. Calcule
\tan\theta \approx \tan(21{,}6^\circ)\approx 0{,}396.
(uso aproximado com 3 casas significativas; manteremos precisão suficiente).
  • Densidade da água: \rho = 1000\\ \text{kg/m}^3. Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

Entender e relacionar as potências e eficiências (a parte conceitual, bem mastigada).
  • Chamemos P_{rotor} a potência efetivamente absorvida pelo rotor (a energia que o fluido entrega ao rotor, antes das perdas mecânicas).
  • O rendimento hidráulico \eta_{h} é definido por
\eta_{h}=\frac{P_{rotor}}{\rho g Q H},
onde \rho g Q H é a potência hidráulica disponível na queda H.
  • O rendimento total \eta_{t} é a razão entre a potência no eixo e a potência hidráulica disponível:
\eta_{t}=\frac{P_e}{\rho g Q H}.
  • Existe ainda rendimento mecânico \eta_m (perdas mecânicas entre rotor e eixo) tal que
\eta_t=\eta_h\cdot\eta_m \quad\Rightarrow\quad \eta_m=\frac{\eta_t}{\eta_h}.
  • A relação entre P_e e P_{rotor} é
P_e=\eta_m\,P_{rotor}\quad\Rightarrow\quad P_{rotor}=\frac{P_e}{\eta_m} = P_e\cdot\frac{\eta_h}{\eta_t}.
Vamos calcular P_{rotor} numericamente agora:
\eta_m=\frac{0{,}795}{0{,}858}=0{,}9265\\ (\text{aprox.}),
P_{rotor}= \frac{11694{,}45}{0{,}9265}\approx 12619{,}5\\ \text{W}.
(este é o valor de potência entregue pelo líquido ao rotor, antes das perdas mecânicas).

Passo 4

Explicar Euler para turbinas radiais e as hipóteses adotadas (por que usar essa relação).
  • A equação geral de Euler para turbomáquinas (potência por unidade de tempo) diz que, por unidade de massa, o trabalho específico que o fluido entrega ao rotor é
\Delta e = u_1 c_{u1} - u_2 c_{u2},
onde u é a velocidade periférica (tangencial) da pá e c_u é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido, índices 1 e 2 referem-se a entrada e saída do rotor.
  • A potência total entregue ao rotor é, então,
P_{rotor} = \dot{m}\,(u_1 c_{u1} - u_2 c_{u2}) = \rho Q\,(u_1 c_{u1} - u_2 c_{u2}).
  • Hipótese padrão e comum para resolver este tipo de exercício (quando nada mais é dado):
    • assumir que a turbina foi projetada para anular o momento ao sair do rotor, i.e., a componente tangencial absoluta na saída do rotor é desprezível: c_{u2}\approx 0. (Isso corresponde a um rotor que “des-espirala” o fluido para evitar perdas de energia remanescente).
    • então a expressão simplifica para
P_{rotor} = \rho Q\,u_1\,c_{u1}.
Vou adotar essa hipótese; é a mais comum em exercícios de turbomáquinas quando o enunciado não dá c_{u2}. Se a questão exigisse outra hipótese, eu explicaria a escolha — aqui é a opção usual porque reduz o problema a dados que temos.
  • Precisamos relacionar c_{u1} e Q. Use a continuidade de massa na entrada do rotor. A vazão atravessa a seção circunferencial de entrada (comprimento efetivo: 2\pi r_1 h_1), mas existe contração \sigma. Assim:
Q = \sigma\,c_{m1}\,(2\pi r_1 h_1),
onde c_{m1} é a componente radial (meridional) da velocidade absoluta na entrada e r_1 é o raio de entrada. Repare: r_1 aparece aqui, mas veremos que ele se cancela.
  • No triângulo de velocidades na entrada:
\tan\theta = \frac{c_{m1}}{c_{u1}} \quad\Rightarrow\quad c_{m1}=c_{u1}\tan\theta.
  • Substituindo c_{m1} na expressão de Q:
Q = \sigma\,c_{u1}\tan\theta\,(2\pi r_1 h_1).
  • Agora substitua c_{u1} em P_{rotor}=\rho Q u_1 c_{u1}. Observe que u_1=\omega r_1. Fazendo as substituições cuidadosamente encontraremos que r_1 se cancela (ótimo, não precisamos do raio):
P_{rotor}=\rho\,Q\,(\omega r_1)\,c_{u1}.
Usando Q=\sigma c_{u1}\tan\theta (2\pi r_1 h_1) da equação anterior, substitui-se em P_{rotor}:
P_{rotor}=\rho\big(\sigma c_{u1}\tan\theta (2\pi r_1 h_1)\big)\omega r_1 c_{u1}.
Agrupando termos:
P_{rotor}=\rho\,\sigma\,2\pi\,\omega\,h_1\, r_1^2\, c_{u1}^2\tan\theta.
Mas podemos reorganizar para eliminar r_1. Em vez de trabalhar com c_{u1} e r_1 separadamente, é mais prático eliminar c_{u1} usando a expressão de Q isolada. Tomando a expressão Q=\sigma c_{u1}\tan\theta (2\pi r_1 h_1), isole c_{u1}:
c_{u1}=\frac{Q}{\sigma\,2\pi r_1 h_1\,\tan\theta}.
Substitua na expressão simples P_{rotor}=\rho Q u_1 c_{u1}=\rho Q (\omega r_1) c_{u1}:
P_{rotor}=\rho Q \omega r_1 \cdot \frac{Q}{\sigma\,2\pi r_1 h_1\,\tan\theta}.
Agora r_1 cancela:
P_{rotor}=\frac{\rho\omega}{\sigma\,2\pi h_1\,\tan\theta}\;Q^2.
Portanto obtemos uma relação prática do tipo P_{rotor}=K\,Q^2 com
K=\frac{\rho\omega}{\sigma\,2\pi h_1\,\tan\theta}.
Esta é a expressão que permite calcular Q diretamente, sem conhecer r_1.

Passo 5

Resolver numericamente para Q usando a fórmula obtida. Rearranjando:
Q = \sqrt{\frac{P_{rotor}\,\sigma\,2\pi h_1\,\tan\theta}{\rho\omega}}.
Agora substituímos os valores numéricos (todos em unidades SI):
  • P_{rotor}\approx 12619{,}5\\ \text{W} (calculado no Passo 3),
  • \sigma=0{,}937,
  • h_1=0{,}060\\ \text{m},
  • \tan\theta\approx 0{,}396,
  • \rho=1000\\ \text{kg/m}^3,
  • \omega\approx 78{,}54\\ \text{rad/s}.
    Calcule o numerador:
P_{rotor}\,\sigma\,2\pi h_1\,\tan\theta \approx 12619{,}5\cdot 0{,}937 \cdot 2\pi\cdot 0{,}060 \cdot 0{,}396 \approx 1766{,}1.
Denominador:
\rho\omega = 1000\cdot 78{,}54 \approx 78539{,}8.
Logo
Q^2 \approx \frac{1766{,}1}{78539{,}8}\approx 0{,}02249, \qquad Q \approx \sqrt{0{,}02249}\approx 0{,}1500\\ \text{m}^3/\text{s}.
Arredondando razoavelmente:
Q \approx 0{,}15\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 6

Determinar a altura (cabeça) H. Use a definição do rendimento hidráulico:
\eta_h = \frac{P_{rotor}}{\rho g Q H}\quad\Longrightarrow\quad H=\frac{P_{rotor}}{\eta_h\,\rho g Q}.
Substituindo valores:
H=\frac{12619{,}5}{0{,}858\cdot 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}15}.
Calcule o denominador: 0{,}858\cdot 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}15 \approx 1261{,}95. Logo
H\approx \frac{12619{,}5}{1261{,}95}\approx 10{,}0\\ \text{m}.
(Alternativamente, poderia-se usar H=\dfrac{P_e}{\eta_t\,\rho g Q} — dá o mesmo resultado numericamente, pois P_e/\eta_t = P_{rotor}/\eta_h.)

Passo 7

Comentários finais, verificação e incentivo.
  • Os resultados finais coincidem com as respostas dadas no enunciado de referência: Q\approx 0{,}15\\ \text{m}^3/\text{s} e H\approx 10\\ \text{m}.
  • Observação sobre hipóteses: foi assumido que c_{u2}\approx 0 (saída sem velocidade tangencial remanescente). Essa é a hipótese padrão em muitos exercícios de turbinas radiais quando c_{u2} não é fornecido. Se o enunciado desse c_{u2}, a equação de Euler seria usada com u_1 c_{u1}-u_2 c_{u2} e o resultado mudaria.
  • Você fez a parte difícil: entender como unir potência, eficiência, continuidade e triângulo de velocidades. Se quiser, faço agora o mesmo passo a passo com números mais detalhados nas multiplicações (caso ache que precisa “mastigar” ainda mais).

Resposta

Q=0{,}15\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
H=10\\ \mathrm{m}

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