Uma amostra saturada, com 420 g de massa e densidade igual a 2,75 , é introduzida num recipiente de parede rígida, de 10 cm de altura e 5 cm de diâmetro. A amostra é então comprimida lentamente numa prensa, diminuindo seu tamanho, pela expulsão da água de seu interior, sem, contudo, variar o seu diâmetro. Determine: i) o teor de umidade da amostra saturada ( 0,5 \mathrm{pt}.); ii) a variação da altura da amostra, em relação à inicial, para um instante em que o teor de umidade da amostra é de 14,5 % (1 pt.).

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra de solo saturado inserida num recipiente rígido (diâmetro constante) e pede (i) o teor de umidade inicial e (ii) a variação da altura quando o teor chega a 14,5 %. O conteúdo envolve propriedades índices de solos: massa de sólidos, volume de água, teor de umidade w e uso do peso específico dos grãos G_s.

Passo 2

Calcular o volume inicial da amostra, que preenche o recipiente de diâmetro D=5\\ \mathrm{cm} e altura inicial h_1=10\\ \mathrm{cm}:
V_1 = \frac{\pi D^2}{4}\,h_1
Substituindo,
V_1 = \frac{\pi\,(5\\ \mathrm{cm})^2}{4}\times10\\ \mathrm{cm} = \frac{25\pi}{4}\times10\\ \mathrm{cm}^3 \approx196{,}35\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

Na condição saturada, toda a porosidade está preenchida de água. Seja V_s o volume de sólidos, V_w o volume de água, m_s a massa de sólidos e m_w a massa de água. Temos:
  • densidade dos grãos G_s=2,75 implica
m_s = G_s\,\rho_w\,V_s = 2{,}75\,(1\\ \mathrm{g/cm^3})\,V_s = 2{,}75\,V_s.
  • massa total m = 420\\ \mathrm g = m_s + m_w.
  • volume total V_1 = V_s + V_w e m_w = \rho_w\,V_w = V_w (em g).
    Logo,
420 = 2{,}75\,V_s + (V_1 - V_s) \;\Longrightarrow\; 420 - V_1 = (2{,}75 - 1)\,V_s \;\Longrightarrow\; V_s = \frac{420 - 196{,}35}{1{,}75} \approx127{,}80\\ \mathrm{cm}^3.
Dessa forma m_s = 2{,}75\times127{,}80\approx351{,}45\\ \mathrm g e m_w = V_1 - V_s\approx68{,}55\\ \mathrm g. O teor de umidade gravimétrico inicial é
w_{\rm sat} = \frac{m_w}{m_s}\times100\% = \frac{68{,}55}{351{,}45}\times100\% \approx19{,}5\%.

Passo 4

Quando o teor de umidade cai para w_2=14{,}5\%, a massa de água torna-se
m_{w2} = w_2\,m_s = 0{,}145\times351{,}45\approx50{,}96\\ \mathrm g,
e o novo volume total é
V_2 = V_s + V_{w2} =127{,}80 + 50{,}96 \approx178{,}76\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Como o diâmetro não varia, a área da base é constante, e a altura h satisfaz h\propto V. Logo, a nova altura é
h_2 = h_1\,\frac{V_2}{V_1} =10\\ \mathrm{cm}\times\frac{178{,}76}{196{,}35} \approx9{,}10\\ \mathrm{cm}.
A variação em relação à altura inicial é
\Delta h = h_2 - h_1 \approx9{,}10\\ \mathrm{cm} - 10\\ \mathrm{cm} = -0{,}90\\ \mathrm{cm},
isto é, uma redução de 0{,}90\\ \mathrm{cm}.

Resposta

i) w_{\rm sat}\approx19{,}5\%.
ii) A altura diminui em aproximadamente 0{,}90\\ \mathrm{cm}, ficando h_2\approx9{,}10\\ \mathrm{cm}.

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