A barra
tem uma área de seção transversal de
e é feita de um aço elastoplástico com
e
. Sabendo que a força
aumenta de 0 a 520 kN e depois diminui para zero, determine (a) o deslocamento permanente do ponto
e
a tensão residual na barra.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz que temos uma barra AB com área de seção transversal A = 1200 mm², módulo de elasticidade E = 200 GPa e limite de escoamento σₑ = 250 MPa. A força F sobe de 0 até 520 kN e depois cai a zero. Precisamos achar:
a) o deslocamento permanente do ponto C (que é proporcional ao alongamento total);
b) a tensão residual na barra depois de descarregar.
a) o deslocamento permanente do ponto C (que é proporcional ao alongamento total);
b) a tensão residual na barra depois de descarregar.
Conteúdo envolvido: resistência dos materiais – tensão e deformação em tração, escoamento plástico perfeito, separação em parte elástica e parte plástica, e percurso de carregamento–descarregamento. Vamos usar as fórmulas básicas σ = F/A, ε = σ/E, Δ = ε·L e a ideia de que, após descarregar, só volta a deformação elástica, deixando a plástica como restante.
Passo 2
Calcular as tensões e deformações correspondentes:
- Tensão de escoamento:
σₑ = 250 MPa - Força de escoamento:
Pₑ = σₑ·A = 250·10⁶ Pa · 1200·10⁻⁶ m² = 300·10³ N = 300 kN - Máxima tensão aplicada (em Pₘₐₓ = 520 kN):
σₘₐₓ = Pₘₐₓ / A = 520·10³ N / (1200·10⁻⁶ m²) = 433,33 MPa
Passo 3
Determinar a deformação total até o pico de carregamento:
εₘₐₓ = σₘₐₓ / E = (433,33·10⁶ Pa)/(200·10⁹ Pa) = 0,0021667
εₘₐₓ = σₘₐₓ / E = (433,33·10⁶ Pa)/(200·10⁹ Pa) = 0,0021667
Passo 4
Identificar a parte elástica e a parte plástica dessa deformação:
– A deformação elástica de escoamento é
εₑ = σₑ / E = (250·10⁶)/(200·10⁹) = 0,00125
– A deformação plástica acumulada até Pₘₐₓ é
εₚ = εₘₐₓ – εₑ = 0,0021667 – 0,00125 = 0,0009167
– A deformação elástica de escoamento é
εₑ = σₑ / E = (250·10⁶)/(200·10⁹) = 0,00125
– A deformação plástica acumulada até Pₘₐₓ é
εₚ = εₘₐₓ – εₑ = 0,0021667 – 0,00125 = 0,0009167
Passo 5
Ao descarregar de 520 kN até zero, a parte elástica εₑ volta, mas a plástica εₚ fica “presa” como alongamento permanente.
Logo, o deslocamento permanente Δₚ é
Δₚ = εₚ · L = 0,0009167 · L
Logo, o deslocamento permanente Δₚ é
Δₚ = εₚ · L = 0,0009167 · L
Se você quiser um valor numérico e sabe o comprimento L da barra (por exemplo, se L = 1 m = 1000 mm), dá
Δₚ = 0,0009167 · 1000 mm ≃ 0,917 mm
Δₚ = 0,0009167 · 1000 mm ≃ 0,917 mm
Passo 6
Depois de descarregar completamente, a tensão interna na barra cai linearmente junto com a parte elástica até zero. Não sobra nenhuma tensão residual (os esforços internos são nulos sem carga).
Resposta
a) O deslocamento permanente do ponto C é
Por exemplo, para L = 1000 mm, Δₚ ≃ 0,917 mm.
b) A tensão residual na barra, após descarga completa, é zero: