Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{4} x^{4} e^{-y^{2}} d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{4} x^{4} e^{-y^{2}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A região de integração é um retângulo: x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 4.
  • A função integranda é x^{4} e^{-y^{2}}, que é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y.

Passo 2

Ideia do método: quando o integrando é produto de uma função só de x por outra só de y, a integral dupla sobre um retângulo separa em produto de integrais simples. Antes de separar, uma justificativa rápida: como x^{4} e^{-y^{2}}\ge 0 para todo (x,y) na região, pode-se aplicar o Teorema de Tonelli/Fubini para integrar por partes ou trocar a ordem sem problemas. Ou seja, podemos escrever
\int_{0}^{1}\int_{0}^{4} x^{4} e^{-y^{2}}\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} x^{4}\,dx\right) \left(\int_{0}^{4} e^{-y^{2}}\,dy\right).
Isso simplifica muito o trabalho: cada integral é de uma variável só.

Passo 3

Vamos calcular a integral em x primeiro:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx.
Regra usada: a primitiva de x^{n} (com n\neq -1) é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=4, então uma primitiva é \dfrac{x^{5}}{5}. Avaliando entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \left.\dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1^{5}}{5}-\dfrac{0^{5}}{5}=\dfrac{1}{5}.
Pequeno comentário útil para a prova: é sempre bom escrever a primitiva e aplicar o teorema fundamental do cálculo passo a passo, como fizemos aqui.

Passo 4

Agora olhamos a integral em y:
\int_{0}^{4} e^{-y^{2}}\,dy.
Importante: a função e^{-y^{2}} NÃO tem primitiva elementar expressável com funções racionais, exponenciais ou trigonométricas comuns. Para integrar e^{-y^{2}} usa-se a função erro (error function), definida por
\operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-t^{2}}\,dt.
Da definição segue diretamente que
\int_{0}^{4} e^{-y^{2}}\,dy = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(4).
Explicando de forma concreta: isolou-se a integral na definição da \operatorname{erf}, multiplicando e dividindo por constantes convenientes para obter o fator \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.

Passo 5

Multiplicando os resultados de x e y obtidos nos passos anteriores, temos
\int_{0}^{1}\int_{0}^{4} x^{4} e^{-y^{2}}\,dy\,dx = \left(\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(4)\right).
Simplificando constantes:
\left(\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{10},
logo a expressão final é \dfrac{\sqrt{\pi}}{10}\operatorname{erf}(4).

Passo 6

Interpretação prática / aproximação numérica: a função \operatorname{erf}(4) é extremamente próxima de 1 (numericamente \operatorname{erf}(4)\approx 0{,}9999999846), então uma boa aproximação numérica da integral é
\frac{\sqrt{\pi}}{10}\operatorname{erf}(4)\approx \frac{\sqrt{\pi}}{10}\approx 0{,}177245385.
Isso pode ajudar se, na prova, pedirem uma aproximação em vez da expressão exata com \operatorname{erf}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{\pi}}{10}\operatorname{erf}(4)

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