A região de integração é um retângulo: x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 4.
A função integranda é x^{4} e^{-y^{2}}, que é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y.
Passo 2
Ideia do método: quando o integrando é produto de uma função só de x por outra só de y, a integral dupla sobre um retângulo separa em produto de integrais simples. Antes de separar, uma justificativa rápida: como x^{4} e^{-y^{2}}\ge 0 para todo (x,y) na região, pode-se aplicar o Teorema de Tonelli/Fubini para integrar por partes ou trocar a ordem sem problemas. Ou seja, podemos escrever
Pequeno comentário útil para a prova: é sempre bom escrever a primitiva e aplicar o teorema fundamental do cálculo passo a passo, como fizemos aqui.
Passo 4
Agora olhamos a integral em y:
\int_{0}^{4} e^{-y^{2}}\,dy.
Importante: a função e^{-y^{2}} NÃO tem primitiva elementar expressável com funções racionais, exponenciais ou trigonométricas comuns. Para integrar e^{-y^{2}} usa-se a função erro (error function), definida por
Explicando de forma concreta: isolou-se a integral na definição da \operatorname{erf}, multiplicando e dividindo por constantes convenientes para obter o fator \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
Passo 5
Multiplicando os resultados de x e y obtidos nos passos anteriores, temos
logo a expressão final é \dfrac{\sqrt{\pi}}{10}\operatorname{erf}(4).
Passo 6
Interpretação prática / aproximação numérica: a função \operatorname{erf}(4) é extremamente próxima de 1 (numericamente \operatorname{erf}(4)\approx 0{,}9999999846), então uma boa aproximação numérica da integral é