Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é simétrico em torno de
, ou seja, é . - A função a integrar é
.
Passo 2
Definições importantes (muito úteis para resolver integrais em intervalos simétricos):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, . - Propriedade-chave: Se
é ímpar e integrável em , então
Vou provar rapidamente essa propriedade porque é simples e importante: suponha
ímpar. Faça a substituição
em
:
Como
é ímpar,
. Logo
Somando com
obtemos
. Pronto.
Passo 3
Analisar a paridade dos fatores da função
.
- Observe
. Para todo ,
logo
é uma função par.
-
Observe
. Como é par, também é par (soma de funções pares é par). -
Portanto a razão
é a divisão de duas funções pares; a divisão de funções pares (quando o denominador não é zero) é par. Assim
é par.
- Já
satisfaz , portanto é ímpar.
Passo 4
Combinar as paridades: produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar. Formalmente, se
é par e
é ímpar, então
Aplicando isso à nossa
, como
é par e
é ímpar, segue que
é ímpar:
Passo 5
Verificar condições de aplicabilidade: a função
é contínua em todo
porque o denominador
nunca é zero. Em particular,
é integrável em
. Como já vimos,
é ímpar e o intervalo é simétrico, podemos usar a propriedade do Passo 2.
Passo 6
Aplicar a propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico:
(Essa é uma conclusão direta da paridade e da integrabilidade.)