Calcule as integrais definidas:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2} \sin x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin x}{1+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de 0, ou seja, é \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{x^{2}\sin x}{1+x^{2}}.

Passo 2

Definições importantes (muito úteis para resolver integrais em intervalos simétricos):
  • Uma função g é par se, para todo x no domínio, g(-x)=g(x).
  • Uma função g é ímpar se, para todo x no domínio, g(-x)=-g(x).
  • Propriedade-chave: Se g é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0.
Vou provar rapidamente essa propriedade porque é simples e importante: suponha g ímpar. Faça a substituição u=-x em \int_{-a}^{0} g(x)\,dx:
\int_{-a}^{0} g(x)\,dx = \int_{a}^{0} g(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} g(-u)\,du.
Como g é ímpar, g(-u)=-g(u). Logo
\int_{-a}^{0} g(x)\,dx = -\int_{0}^{a} g(u)\,du.
Somando com \int_{0}^{a} g(x)\,dx obtemos \int_{-a}^{a} g(x)\,dx=0. Pronto.

Passo 3

Analisar a paridade dos fatores da função f(x)=\dfrac{x^{2}\sin x}{1+x^{2}}.
  • Observe x^{2}. Para todo x,
(-x)^{2}=x^{2},
logo x^{2} é uma função par.
  • Observe 1+x^{2}. Como x^{2} é par, 1+x^{2} também é par (soma de funções pares é par).
  • Portanto a razão
\frac{x^{2}}{1+x^{2}}
é a divisão de duas funções pares; a divisão de funções pares (quando o denominador não é zero) é par. Assim \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} é par.
  • \sin x satisfaz \sin(-x)=-\sin x, portanto \sin x é ímpar.

Passo 4

Combinar as paridades: produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar. Formalmente, se p é par e q é ímpar, então
(pq)(-x)=p(-x)q(-x)=p(x)\bigl(-q(x)\bigr)=-p(x)q(x).
Aplicando isso à nossa f, como \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} é par e \sin x é ímpar, segue que f é ímpar:
f(-x)=-f(x).

Passo 5

Verificar condições de aplicabilidade: a função f(x)=\dfrac{x^{2}\sin x}{1+x^{2}} é contínua em todo \mathbb{R} porque o denominador 1+x^{2} nunca é zero. Em particular, f é integrável em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Como já vimos, f é ímpar e o intervalo é simétrico, podemos usar a propriedade do Passo 2.

Passo 6

Aplicar a propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin x}{1+x^{2}}\,dx = 0.
(Essa é uma conclusão direta da paridade e da integrabilidade.)

Resposta

\;0

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