Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{\infty} \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x \quad(a>0)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx,
onde a>0. Informações fornecidas:
  • A função integranda é x\mapsto \sqrt{x^{2}+a^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), portanto trata-se de uma integral imprópria (limite no infinito).
  • É preciso verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): calcular uma primitiva explícita de \sqrt{x^{2}+a^{2}} para poder escrever a integral de 0 até R como F(R)-F(0), e em seguida tomar o limite quando R\to\infty. Se o limite existir finito, a integral converge; se o limite for +\infty (ou não existir), a integral diverge.
Vou achar a primitiva usando a substituição hiperbólica x=a\operatorname{sinh} t. Essa substituição é útil porque \sqrt{x^{2}+a^{2}} fica simples em função de t: se x=a\operatorname{sinh} t então \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} t. Também explico cada passo da substituição para você entender bem.

Passo 3

Substituição e cálculo da primitiva.
Faça x = a\operatorname{sinh} t. Então:
dx = a\operatorname{cosh} t\,dt, \qquad \sqrt{x^{2}+a^{2}} = a\operatorname{cosh} t.
A integral indefinida fica
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = \int (a\operatorname{cosh} t)\,(a\operatorname{cosh} t)\,dt = a^{2}\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
Usa-se a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}t=\dfrac{1+\operatorname{cosh}(2t)}{2}. Assim
a^{2}\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt = a^{2}\int \frac{1+\operatorname{cosh}(2t)}{2}\,dt = \frac{a^{2}}{2}\int dt + \frac{a^{2}}{2}\int \frac{\operatorname{cosh}(2t)}{1}\,dt.
Integrando:
\frac{a^{2}}{2} t + \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(2t)}{2} + C = \frac{a^{2}}{2} t + \frac{a^{2}}{4}\operatorname{sinh}(2t) + C.
Agora volte para a variável x. Note que \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, e \operatorname{sinh} t = x/a, \operatorname{cosh} t = \sqrt{x^{2}+a^{2}}/a. Portanto
\frac{a^{2}}{4}\operatorname{sinh}(2t) = \frac{a^{2}}{4}\cdot 2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t = \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a} = \frac{x\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{2}.
Também t=\operatorname{arsinh}(x/a)=\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)-\ln a. Absorvendo -\dfrac{a^{2}}{2}\ln a em uma constante de integração, obtemos a primitiva clássica
F(x)=\frac{x\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2}\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)+C.
Você pode verificar derivando F(x) que volta-se a \sqrt{x^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Avaliação da integral definida como limite. Defina
I(R)=\int_{0}^{R}\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = F(R)-F(0),
onde F é a primitiva escolhida (escolhendo a constante de forma conveniente). Usando a fórmula acima (e escolhendo C de modo que F(0)=\dfrac{a^{2}}{2}\ln a para facilitar), obtemos
I(R)=\frac{R\sqrt{R^{2}+a^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2}\ln\!\bigl(R+\sqrt{R^{2}+a^{2}}\bigr)-\frac{a^{2}}{2}\ln a.
Agora investigamos o comportamento quando R\to\infty. Observe que \sqrt{R^{2}+a^{2}}\ge R para todo R\ge0. Portanto
\frac{R\sqrt{R^{2}+a^{2}}}{2}\ge \frac{R^{2}}{2}.
Assim
I(R)\ge \frac{R^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}\ln a,
e o lado direito tende a +\infty quando R\to\infty. Logo I(R)\to +\infty. Em palavras: a parte polinomial R^{2}/2 da primitiva cresce sem limite, então a integral própria diverge para +\infty.
Também é possível ver isso olhando a ordem de crescimento: para x grande tem \sqrt{x^{2}+a^{2}}\sim x, e \int^{\infty} x\,dx diverge; por isso a integral dada também diverge.

Passo 5

Conclusão: a integral imprópria não converge para um número finito; cresce sem limite positivo.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = +\infty

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