Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral imprópria
onde
. Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, portanto trata-se de uma integral imprópria (limite no infinito). - É preciso verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): calcular uma primitiva explícita de
para poder escrever a integral de
até
como
, e em seguida tomar o limite quando
. Se o limite existir finito, a integral converge; se o limite for
(ou não existir), a integral diverge.
Vou achar a primitiva usando a substituição hiperbólica
. Essa substituição é útil porque
fica simples em função de
: se
então
. Também explico cada passo da substituição para você entender bem.
Passo 3
Substituição e cálculo da primitiva.
Faça
. Então:
A integral indefinida fica
Usa-se a identidade hiperbólica
. Assim
Integrando:
Agora volte para a variável
. Note que
, e
,
. Portanto
Também
. Absorvendo
em uma constante de integração, obtemos a primitiva clássica
Você pode verificar derivando
que volta-se a
.
Passo 4
Avaliação da integral definida como limite. Defina
onde
é a primitiva escolhida (escolhendo a constante de forma conveniente). Usando a fórmula acima (e escolhendo
de modo que
para facilitar), obtemos
Agora investigamos o comportamento quando
. Observe que
para todo
. Portanto
Assim
e o lado direito tende a
quando
. Logo
. Em palavras: a parte polinomial
da primitiva cresce sem limite, então a integral própria diverge para
.
Também é possível ver isso olhando a ordem de crescimento: para
grande tem
, e
diverge; por isso a integral dada também diverge.
Passo 5
Conclusão: a integral imprópria não converge para um número finito; cresce sem limite positivo.