Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O objetivo é avaliar essa integral e obter um valor explícito.
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): quando aparece uma função composta do tipo
multiplicada por
, é natural tentar uma substituição que simplifique a parte composta. A substituição padrão é
Vou explicar por que isso funciona: pela regra da cadeia, a derivada de
é
ou seja,
Isso mostra que o produto
pode ser escrito em termos de
como
Esse é o ponto chave da substituição: transforma
numa expressão simples em
.
Passo 3
Mudar os limites da integral conforme a substituição
. Calcular os novos limites:
- Para o limite inferior
:
- Para o limite superior
:
Portanto a integral em
terá limites
até
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Usando
e
, temos
Factorizando a constante
:
Passo 5
Integrar
em relação a
. A primitiva de
é
, porque
. Assim,
Passo 6
Avaliar os senos conhecidos:
. Então a expressão fica
Isso já é uma forma final simples da integral.
Passo 7
Interpretação rápida e dica para prova: outra forma de ver isso sem trocar limites é notar que
logo
é exatamente
da derivada de
. Assim a primitiva de
é
, e aplicando o teorema fundamental do cálculo com os limites
e
chega-se ao mesmo resultado rapidamente. Boa notícia: esse tipo de reconhecimento costuma economizar tempo na prova. Força aí — tá indo bem!