Calcule as integrais definidas:
\int_{\sqrt{\pi}}^{\pi} x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\sqrt{\pi}}^{\pi} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\cos\!\left(x^{2}\right).
  • Os limites de integração são x=\sqrt{\pi} (inferior) e x=\pi (superior).
    O objetivo é avaliar essa integral e obter um valor explícito.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): quando aparece uma função composta do tipo \cos\!\left(x^{2}\right) multiplicada por x, é natural tentar uma substituição que simplifique a parte composta. A substituição padrão é
u = x^{2}.
Vou explicar por que isso funciona: pela regra da cadeia, a derivada de u=x^{2} é
\frac{du}{dx} = 2x,
ou seja,
du = 2x\,dx.
Isso mostra que o produto x\,dx pode ser escrito em termos de du como
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Esse é o ponto chave da substituição: transforma x\cos(x^{2})\,dx numa expressão simples em u.

Passo 3

Mudar os limites da integral conforme a substituição u=x^{2}. Calcular os novos limites:
  • Para o limite inferior x=\sqrt{\pi}:
u_{\text{inferior}} = (\sqrt{\pi})^{2} = \pi.
  • Para o limite superior x=\pi:
u_{\text{superior}} = \pi^{2}.
Portanto a integral em u terá limites \pi até \pi^{2}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Usando u=x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, temos
\int_{\sqrt{\pi}}^{\pi} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int_{u=\pi}^{u=\pi^{2}} \cos(u)\cdot\frac{1}{2}\,du.
Factorizando a constante \tfrac{1}{2}:
\int_{\sqrt{\pi}}^{\pi} x\cos\!\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{\pi}^{\pi^{2}} \cos(u)\,du.

Passo 5

Integrar \cos(u) em relação a u. A primitiva de \cos(u) é \sin(u), porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Assim,
\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\pi^{2}} \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{u=\pi}^{u=\pi^{2}} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(\pi^{2})-\sin(\pi)\bigr).

Passo 6

Avaliar os senos conhecidos: \sin(\pi)=0. Então a expressão fica
\frac{1}{2}\bigl(\sin(\pi^{2})-\sin(\pi)\bigr) = \frac{1}{2}\sin(\pi^{2}).
Isso já é uma forma final simples da integral.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: outra forma de ver isso sem trocar limites é notar que
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x^{2})\bigr)=2x\cos(x^{2}),
logo x\cos(x^{2}) é exatamente \tfrac{1}{2} da derivada de \sin(x^{2}). Assim a primitiva de x\cos(x^{2}) é \tfrac{1}{2}\sin(x^{2}), e aplicando o teorema fundamental do cálculo com os limites x=\sqrt{\pi} e x=\pi chega-se ao mesmo resultado rapidamente. Boa notícia: esse tipo de reconhecimento costuma economizar tempo na prova. Força aí — tá indo bem!

Resposta

\dfrac{1}{2}\sin\!\left(\pi^{2}\right)

Exercícios relacionados