Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular a integral indefinida
Isso faz parte de cálculo de integrais de funções racionais, e a ferramenta que vamos usar aqui é a substituição trigonométrica. Em particular, a gente vai lembrar que se
, então
e
. Com isso, transformamos a integral em algo envolvendo potências de
(ou
), que a gente sabe integrar usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Fazendo a substituição
a integral vira
Passo 3
Agora precisamos integrar
. A gente usa a identidade de redução
logo
E de novo aplicamos
. Então
Passo 4
Integramos termo a termo:
Passo 5
Agora voltamos para
. Lembrando que
:
-
. -
-
. Mas também já tem fórmula direta:
Substituindo tudo:
Passo 6
A gente pode simplificar os termos racionais:
Juntando em um só quarilho: