Calcule a integral indefinida.
integral 1(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1(x^2+1)^3,dx
Isso faz parte de cálculo de integrais de funções racionais, e a ferramenta que vamos usar aqui é a substituição trigonométrica. Em particular, a gente vai lembrar que se , então e . Com isso, transformamos a integral em algo envolvendo potências de (ou ), que a gente sabe integrar usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = tantheta Longrightarrow dx = sec^2theta,dtheta, x^2+1 = sec^2theta,
a integral vira
integral 1(x^2+1)^3,dx = integral 1(sec^2theta)^3,sec^2theta,dtheta = integral sec^2thetasec^6theta,dtheta = integral cos^4theta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos integrar cos^2theta = 1+cos(2theta)2, . A gente usa a identidade de redução
cos^4theta = (cos^2theta)^2 = l(tfrac1+cos2theta2r)^2 = 1 + 2cos2theta + cos^2 2theta4
logo
cos^4theta = 1 + 2cos2theta + tfrac1+cos4theta24 = 14l(1 + 2cos2theta + tfrac12 + tfrac12cos4thetar) = 38 + 12cos2theta + 18cos4theta
E de novo aplicamos . Então

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral cos^4theta,dtheta = integral l(38 + 12cos2theta + 18cos4thetar)dtheta = 38,theta + 12cdotsin2theta2 + 18cdotsin4theta4 + C
= 38,theta + 14sin2theta + 132sin4theta + C

Passo 5

Agora voltamos para sin4theta = 4tantheta,(1-tan^2theta)(1+tan^2theta)^2 = 4x,(1-x^2)(1+x^2)^2 . Lembrando que integral 1(x^2+1)^3dx = 38arctan x + 14,2x1+x^2 + 132,4x(1-x^2)(1+x^2)^2 + C :
  1. .
  2. . Mas também já tem fórmula direta:
Substituindo tudo:

Passo 6

A gente pode simplificar os termos racionais:
14,2x1+x^2 = x2(1+x^2), 132,4x(1-x^2)(1+x^2)^2 = x(1-x^2)8(1+x^2)^2
Juntando em um só quarilho:
x2(1+x^2) + x(1-x^2)8(1+x^2)^2 = x(3x^2+5)8(1+x^2)^2

Resposta

boxed integral 1(x^2+1)^3,dx = 38,arctan x + x,(3x^2+5)8,(1+x^2)^2 + C

Exercícios relacionados