Calcule a integral definida.
integral0^pi / 2 11+sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcular a integral definida
Isso é cálculo de integrais de funções trigonométricas. Para tocar o barco a gente vai usar uma substituição trig (mais precisamente integral0^pi/2 11+sen^2 x,dx ) e também umas identidades básicas como

Passo 2

Definimos
t = tan x
Então, lembrando que dt = sec^2 x,dx Longrightarrow dx = dtsec^2 x = cos^2 x,dt , temos
Os limites mudam assim:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 3

Agora temos que trocar tudo em função de sen^2 x = tan^2 x;cos^2 x = t^2cos^2 x, . Primeiro, note que
e também 1+sen^2 x =1 + t^2cos^2 x =1 + t^21+t^2 =1+t^2 + t^21+t^2 =1+2t^21+t^2 .
Logo
Assim
E não esquece o 11+sen^2 x =1+t^21+2t^2 . Juntando:

Passo 4

A integral original vira
Agora a gente lembra que
integral0^pi/2dx1+sen^2 x ;=;integral0^+inftydt1+2t^2
Aqui integral du1 + a^2u^2 =1a,arctan(a,u) , ou seja integral0^inftydt1+2t^2 =[1raiz2,arctan(raiz2,t)]0^infty =1raiz2l(tfracpi2-0r) =pi2raiz2 . Logo

Resposta

boxedpi2raiz2

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