Calcule a integral definida.
a) integral0^1 arctan x1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida
integral0^1arctan x1+x^2,dx
Conteúdo: é uma integral que combina e . Para resolver, vamos usar a técnica de substituição (trocando por uma nova variável ).

Passo 2

Escolha da substituição:
Como temos ddx(arctan x)=11+x^2 lá em cima e u=arctan x, no denominador, lembra que
Então se a gente chamar
vai aparecer . Isso encaixa direitinho com o nosso integrando.

Passo 3

Agora ajusta tudo na integral:
  • Sabendo integral0^1arctan x1+x^2,dx =integralu=0^u=pi/4u,du , a parte vira .
  • E vira .
  • Precisamos trocar também os limites:
    • Quando , .
    • Quando , .
      Portanto a integral fica

Passo 4

Calcular integral u,du=u^22 :
Usamos a regra de potência para primitiva:
integral0^pi/4u,du =[u^22]0^pi/4 =12l(pi4r)^2 -12(0)^2 =12cdotpi^216 =pi^232
Então

Resposta

boxedpi^232

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