Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas
e
e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo
.
Informações e o que se pede:
- Curvas fornecidas:
e . - Eixo de rotação: eixo
. - Objetivo: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região entre essas curvas em torno do eixo
.
Passo 2
Escolha do método de integração (explicação didática, sem cálculos ainda).
Temos duas opções comuns para volumes de rotação:
- Método das cascas cilíndricas (shells): integrações em
quando o eixo de rotação é vertical; a fórmula básica é
Aqui a “raio” é a distância de um ponto
ao eixo
(que é
) e a “altura” é a extensão da região na direção vertical (diferença entre as curvas em
para esse
).
- Método dos discos/aneis (washers): integrações em
quando o eixo é vertical, usando
onde
e
são as abscissas das curvas expressas como funções de
.
Vou usar o método das cascas cilíndricas porque o eixo é
(vertical) e a região é fácil de descrever como altura em função de
: para cada
a altura é simplesmente a diferença
. Esse método costuma ser mais direto aqui. (No final farei uma checagem curta pelo método dos anéis para confirmar.)
Passo 3
Determinar os pontos de interseção das curvas (para saber os limites de integração).
Igualamos as expressões para
:
Passos:
Logo as soluções são
e
.
Correspondentes
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto a região está entre
e
, com
variando entre as curvas.
Passo 4
Identificar raio e altura das cascas e montar a integral.
Para uma casca em abscissa
(com
):
- Raio da casca (distância ao eixo
) é . - Altura da casca é a diferença entre a curva superior em
e a inferior em . Aqui a curva superior é (pois para ) e a inferior é . Então a altura é
A fórmula das cascas dá:
Passo 5
Simplificar o integrando e preparar para integrar.
Desenvolvendo o produto:
Logo
Passo 6
Integrar termo a termo e avaliar os limites.
Integral indefinida:
Portanto
Avaliação em
:
Diferença:
Multiplicando por
:
Passo 7
Checagem rápida pelo método dos anéis (opcional, para confirmar e para ensino).
Expressando as curvas como abscissas em função de
:
- Da parábola
obtemos (ramo positivo). - Da reta
temos .
Para
a abscissa maior é
(raio externo) e a menor é
(raio interno). A integral de anéis é
Integrando:
Portanto
, que confirma o resultado obtido pelas cascas.
Passo 8
Resumo final e observação amigável.
- O volume calculado é
. - Boa notícia: os dois métodos deram o mesmo resultado, então a conta está consistente.
- Vai na fé que isso aparece com frequência em provas: identificar o método apropriado (cascas para eixo vertical quando a região é fácil em
) costuma poupar tempo. Força aí nos estudos — esse tipo de integral é parceiro fiel na hora da prova!