Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
y=x^{2}, \quad x=2 y; em torno do eixo
y

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas y=x^{2} e x=2y e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo y.
Informações e o que se pede:
  • Curvas fornecidas: y=x^{2} e x=2y.
  • Eixo de rotação: eixo y.
  • Objetivo: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região entre essas curvas em torno do eixo y.

Passo 2

Escolha do método de integração (explicação didática, sem cálculos ainda).
Temos duas opções comuns para volumes de rotação:
  • Método das cascas cilíndricas (shells): integrações em x quando o eixo de rotação é vertical; a fórmula básica é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx.
Aqui a “raio” é a distância de um ponto x ao eixo y (que é x) e a “altura” é a extensão da região na direção vertical (diferença entre as curvas em y para esse x).
  • Método dos discos/aneis (washers): integrações em y quando o eixo é vertical, usando
V = \pi \int_{c}^{d} \big(R_{\text{externo}}(y)^{2} - R_{\text{interno}}(y)^{2}\big)\,dy,
onde R_{\text{externo}} e R_{\text{interno}} são as abscissas das curvas expressas como funções de y.
Vou usar o método das cascas cilíndricas porque o eixo é y (vertical) e a região é fácil de descrever como altura em função de x: para cada x a altura é simplesmente a diferença y_{\text{topo}}-y_{\text{fundo}}. Esse método costuma ser mais direto aqui. (No final farei uma checagem curta pelo método dos anéis para confirmar.)

Passo 3

Determinar os pontos de interseção das curvas (para saber os limites de integração).
Igualamos as expressões para y:
x^{2} = \frac{x}{2}.
Passos:
x^{2}-\frac{x}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x\left(x-\frac{1}{2}\right)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=\dfrac{1}{2}.
Correspondentes y:
  • Para x=0: y=0^{2}=0.
  • Para x=\dfrac{1}{2}: y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
Portanto a região está entre x=0 e x=\dfrac{1}{2}, com y variando entre as curvas.

Passo 4

Identificar raio e altura das cascas e montar a integral.
Para uma casca em abscissa x (com 0\le x\le \tfrac{1}{2}):
  • Raio da casca (distância ao eixo y) é r(x)=x.
  • Altura da casca é a diferença entre a curva superior em y e a inferior em y. Aqui a curva superior é y=\dfrac{x}{2} (pois x/2 > x^{2} para 0<x<\tfrac{1}{2}) e a inferior é y=x^{2}. Então a altura é
h(x)=\frac{x}{2}-x^{2}.
A fórmula das cascas dá:
V = 2\pi \int_{0}^{1/2} x\left(\frac{x}{2}-x^{2}\right)\,dx.

Passo 5

Simplificar o integrando e preparar para integrar.
Desenvolvendo o produto:
x\left(\frac{x}{2}-x^{2}\right)=\frac{x^{2}}{2}-x^{3}.
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{1/2}\left(\frac{x^{2}}{2}-x^{3}\right)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo e avaliar os limites.
Integral indefinida:
\int\left(\frac{x^{2}}{2}-x^{3}\right)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{4}.
Portanto
V = 2\pi\left[\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1/2}.
Avaliação em x=\dfrac{1}{2}:
\frac{x^{3}}{6}=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{6}=\frac{1/8}{6}=\frac{1}{48}, \qquad \frac{x^{4}}{4}=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}}{4}=\frac{1/16}{4}=\frac{1}{64}.
Diferença:
\frac{1}{48}-\frac{1}{64}=\frac{4-3}{192}=\frac{1}{192}.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{1}{192}=\frac{\pi}{96}.

Passo 7

Checagem rápida pelo método dos anéis (opcional, para confirmar e para ensino).
Expressando as curvas como abscissas em função de y:
  • Da parábola y=x^{2} obtemos x=\sqrt{y} (ramo positivo).
  • Da reta x=2y temos x=2y.
Para 0\le y\le \tfrac{1}{4} a abscissa maior é x=\sqrt{y} (raio externo) e a menor é x=2y (raio interno). A integral de anéis é
V=\pi\int_{0}^{1/4}\Big(\big(\sqrt{y}\,\big)^{2} - (2y)^{2}\Big)\,dy = \pi\int_{0}^{1/4}\big(y-4y^{2}\big)\,dy.
Integrando:
\int_{0}^{1/4}\big(y-4y^{2}\big)\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{4y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/4} = \frac{1}{32}-\frac{1}{48}=\frac{1}{96}.
Portanto V=\pi\cdot\frac{1}{96}=\dfrac{\pi}{96}, que confirma o resultado obtido pelas cascas.

Passo 8

Resumo final e observação amigável.
  • O volume calculado é \dfrac{\pi}{96}.
  • Boa notícia: os dois métodos deram o mesmo resultado, então a conta está consistente.
  • Vai na fé que isso aparece com frequência em provas: identificar o método apropriado (cascas para eixo vertical quando a região é fácil em x) costuma poupar tempo. Força aí nos estudos — esse tipo de integral é parceiro fiel na hora da prova!

Resposta

\dfrac{\pi}{96}

Exercícios relacionados