Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
; em torno de
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por elas em torno da reta
. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
-
Curvas fornecidas:
-
(parábola) -
, que pode ser escrita como (reta)
-
-
Eixo de rotação:
(uma reta horizontal) -
O que pedir: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por essas duas curvas em torno de
.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção entre as duas curvas (são os limites da região). Igualo as expressões de
:
Coloco tudo num lado:
Portanto as soluções são
e
. Os correspondentes
são:
Logo a região está entre
e
, e em cada
a curva superior é
e a curva inferior é
(pois para
vale
).
Passo 3
Escolha do método de cálculo: discos/aros (método dos “washers”) ou cascas cilíndricas. Como o eixo de rotação é horizontal (
) e as curvas estão naturalmente dadas como
em função de
, é mais simples usar discos com furo (washers) tomando fatias verticais (variável
). Cada fatia vertical, ao girar em torno de
, gera um aro com raio externo igual à distância do eixo até a curva inferior
e raio interno igual à distância do eixo até a curva superior
. Assim procedo com o método dos washers.
Passo 4
Definir os raios do aro em função de
:
- Distância da reta
até o ponto de menor da fatia (curva inferior ) é o raio externo
- Distância da reta
até o ponto de maior da fatia (curva superior ) é o raio interno
Área do aro (secção perpendicular ao eixo) é
O volume será a integral dessa área para
indo de
a
:
Passo 5
Expandir as expressões para simplificar a integral. Primeiro calcule cada quadrado:
Subtraindo:
Portanto a integral fica
Passo 6
Calcular a primitiva termo a termo. As primitivas são:
Usando isso,
Simplificando
, obtemos a antiderivada
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
:
Calculo cada termo:
Somando com sinais apropriados:
Portanto