Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
y=x^{2}, \quad x=2 y; em torno de
y=1

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por elas em torno da reta y=1. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
  • Curvas fornecidas:
    • y = x^{2} (parábola)
    • x = 2y, que pode ser escrita como y = \dfrac{x}{2} (reta)
  • Eixo de rotação: y=1 (uma reta horizontal)
  • O que pedir: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por essas duas curvas em torno de y=1.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção entre as duas curvas (são os limites da região). Igualo as expressões de y:
x^{2} = \frac{x}{2}.
Coloco tudo num lado:
x^{2} - \frac{x}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x\left(x - \frac{1}{2}\right)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=\dfrac{1}{2}. Os correspondentes y são:
\text{para } x=0:\; y=0^{2}=0, \qquad \text{para } x=\frac{1}{2}:\; y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Logo a região está entre x=0 e x=\dfrac{1}{2}, e em cada x a curva superior é y=\dfrac{x}{2} e a curva inferior é y=x^{2} (pois para 0\le x\le\dfrac{1}{2} vale \dfrac{x}{2}\ge x^{2}).

Passo 3

Escolha do método de cálculo: discos/aros (método dos “washers”) ou cascas cilíndricas. Como o eixo de rotação é horizontal ( y=1) e as curvas estão naturalmente dadas como y em função de x, é mais simples usar discos com furo (washers) tomando fatias verticais (variável x). Cada fatia vertical, ao girar em torno de y=1, gera um aro com raio externo igual à distância do eixo até a curva inferior y=x^{2} e raio interno igual à distância do eixo até a curva superior y=\dfrac{x}{2}. Assim procedo com o método dos washers.

Passo 4

Definir os raios do aro em função de x:
  • Distância da reta y=1 até o ponto de menor y da fatia (curva inferior y=x^{2}) é o raio externo
R_{\text{ext}}(x)=1 - x^{2}.
  • Distância da reta y=1 até o ponto de maior y da fatia (curva superior y=\dfrac{x}{2}) é o raio interno
R_{\text{int}}(x)=1 - \frac{x}{2}.
Área do aro (secção perpendicular ao eixo) é
A(x)=\pi\bigl(R_{\text{ext}}(x)^{2}-R_{\text{int}}(x)^{2}\bigr) =\pi\Bigl((1 - x^{2})^{2} - \Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr)^{2}\Bigr).
O volume será a integral dessa área para x indo de 0 a \dfrac{1}{2}:
V=\int_{0}^{1/2} A(x)\,dx =\pi\int_{0}^{1/2}\Bigl((1 - x^{2})^{2} - \Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr)^{2}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Expandir as expressões para simplificar a integral. Primeiro calcule cada quadrado:
(1 - x^{2})^{2} = 1 - 2x^{2} + x^{4}, \qquad \Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr)^{2} = 1 - x + \frac{x^{2}}{4}.
Subtraindo:
(1 - x^{2})^{2} - \Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr)^{2} = \bigl(1 - 2x^{2} + x^{4}\bigr) - \bigl(1 - x + \tfrac{x^{2}}{4}\bigr) = x - \frac{9}{4}x^{2} + x^{4}.
Portanto a integral fica
V=\pi\int_{0}^{1/2}\Bigl(x - \frac{9}{4}x^{2} + x^{4}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a primitiva termo a termo. As primitivas são:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
Usando isso,
\int\Bigl(x - \frac{9}{4}x^{2} + x^{4}\Bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{4}\cdot\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5}.
Simplificando \dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}, obtemos a antiderivada
F(x)=\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{4}x^{3} + \frac{x^{5}}{5}.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a \dfrac{1}{2}:
V=\pi\bigl[F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-F(0)\bigr] =\pi\left(\frac{(1/2)^{2}}{2} - \frac{3}{4}\,(1/2)^{3} + \frac{(1/2)^{5}}{5}\right).
Calculo cada termo:
\frac{(1/2)^{2}}{2}=\frac{1/4}{2}=\frac{1}{8}, \qquad \frac{3}{4}\,(1/2)^{3}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{32}, \qquad \frac{(1/2)^{5}}{5}=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{160}.
Somando com sinais apropriados:
\frac{1}{8}-\frac{3}{32}+\frac{1}{160} =\frac{20}{160}-\frac{15}{160}+\frac{1}{160} =\frac{6}{160}=\frac{3}{80}.
Portanto
V=\pi\cdot\frac{3}{80}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{80}

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