Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
y=\sqrt{x}, \quad y=x; em torno do eixo
x

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido obtido ao girar a região que elas delimitam em torno do eixo x. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Curvas: y=\sqrt{x} e y=x.
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • A região delimitada é a parte do plano em que as duas curvas se cruzam — será necessário encontrar os pontos de interseção para saber os limites em x.
    O objetivo final é calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo \sqrt{x}=x.
\sqrt{x}=x
Elevando ambos os lados ao quadrado (lembrando que isso é válido aqui porque consideramos x\ge0 quando aparece \sqrt{x}):
x = x^2.
Reescrevendo:
x^2 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=1. Logo a região está entre x=0 e x=1.
Agora determinar qual curva está “por cima” (maior y) no intervalo [0,1]. Tomando um ponto de teste, por exemplo x=\tfrac{1}{4}:
\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2} \quad\text{e}\quad \tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}, concluímos que para 0\le x\le1 vale \sqrt{x}\ge x. Assim a curva superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x.

Passo 3

Escolher o método e explicar a ideia usada (de forma prática e passo a passo).
  • Como estamos girando em torno do eixo x e as curvas são dadas como y em função de x, o método mais direto é o método dos discos/aneis (washers): em cada fatia fina perpendicular ao eixo x (em x fixo) o sólido tem seção transversal anelar com área
A(x)=\pi\big(R(x)\big)^2-\pi\big(r(x)\big)^2,
onde:
  • R(x) é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior),
  • r(x) é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior).
  • O volume total é a integral das áreas das seções ao longo de x entre os pontos de interseção a e b:
V=\int_{a}^{b} \pi\big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx.
Aqui R(x) e r(x) são os próprios valores de y das curvas porque o eixo de rotação é o eixo x (distância vertical até o eixo x é simplesmente y).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Pela identificação do Passo 2 temos R(x)=\sqrt{x} e r(x)=x.
  • Calcular os quadrados dos raios:
R(x)^2=(\sqrt{x})^2=x,\qquad r(x)^2=(x)^2=x^2.
  • Escrever a integral do volume com os limites a=0 e b=1:
V=\int_{0}^{1}\pi\big(x - x^2\big)\,dx.
  • Colocar \pi em evidência e integrar termo a termo:
V=\pi\int_{0}^{1}\big(x - x^2\big)\,dx =\pi\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}.
  • Avaliar nos limites:
\left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
  • Portanto o volume é \pi vezes \tfrac{1}{6}.

Passo 5

Resumo final e pequeno incentivo: a conta ficou curtinha porque os quadrados das funções simplificaram bem. Se acontecer algo parecido na prova — curvas dadas como y=f(x) e giro em torno do eixo x — já sabe: use discos/aneis, ache interseções, identifique curva superior e inferior, monte \pi\int (R^2-r^2)\,dx e execute a integral. Vai dar certo — respira fundo e aplica esses passos com calma!

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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