Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido obtido ao girar a região que elas delimitam em torno do eixo
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Curvas:
e . - Eixo de rotação: eixo
. - A região delimitada é a parte do plano em que as duas curvas se cruzam — será necessário encontrar os pontos de interseção para saber os limites em
.
O objetivo final é calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
.
Elevando ambos os lados ao quadrado (lembrando que isso é válido aqui porque consideramos
quando aparece
):
Reescrevendo:
Portanto as soluções são
e
. Logo a região está entre
e
.
Agora determinar qual curva está “por cima” (maior
) no intervalo
. Tomando um ponto de teste, por exemplo
:
Como
, concluímos que para
vale
. Assim a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 3
Escolher o método e explicar a ideia usada (de forma prática e passo a passo).
- Como estamos girando em torno do eixo
e as curvas são dadas como em função de , o método mais direto é o método dos discos/aneis (washers): em cada fatia fina perpendicular ao eixo (em fixo) o sólido tem seção transversal anelar com área
onde:
-
é o raio externo (distância do eixo até a curva superior), -
é o raio interno (distância do eixo até a curva inferior). - O volume total é a integral das áreas das seções ao longo de
entre os pontos de interseção e :
Aqui
e
são os próprios valores de
das curvas porque o eixo de rotação é o eixo
(distância vertical até o eixo
é simplesmente
).
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso.
- Pela identificação do Passo 2 temos
e . - Calcular os quadrados dos raios:
- Escrever a integral do volume com os limites
e :
- Colocar
em evidência e integrar termo a termo:
- Avaliar nos limites:
- Portanto o volume é
vezes .
Passo 5
Resumo final e pequeno incentivo: a conta ficou curtinha porque os quadrados das funções simplificaram bem. Se acontecer algo parecido na prova — curvas dadas como
e giro em torno do eixo
— já sabe: use discos/aneis, ache interseções, identifique curva superior e inferior, monte
e execute a integral. Vai dar certo — respira fundo e aplica esses passos com calma!