Considerando os conjuntos
Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F):
Passo 1
O enunciado dá cinco conjuntos definidos por produto cartesiano. Vou listar explicitamente o que cada um contém (peguei todos os elementos diretamente do enunciado) e dizer claramente o que é pedido.
Dados:
O que é pedido:
- Determinar se a afirmação
é verdadeira (V) ou falsa (F). - Determinar se a afirmação
é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Primeiro, lembro (curtinha e prática) o que é produto cartesiano: para conjuntos
e
,
Agora escrevo cada conjunto como lista de pares ordenados, construindo-os explicitamente (isso ajuda muito para fazer diferenças e uniões):
-
-
(Expandiu-se combinando cada elemento da primeira componente com cada da segunda.) -
-
-
Observação: cada elemento aqui é um par ordenado, e atenção aos pares iguais ou diferentes (por exemplo
é diferente de
).
Passo 3
Agora aplico a operação de diferença de conjuntos. Lembrando: para conjuntos
e
,
Calculo
:
portanto
Calculo
:
portanto
Ambos
e
têm exatamente um elemento, mas são elementos diferentes: um é
e o outro é
.
Passo 4
Explico rapidamente o que é a potência (conjunto das partes): para qualquer conjunto
,
Se
tem
elementos,
tem
elementos.
Aplicando isso a
e
, que são conjuntos unitários:
Comparação: ambas têm o conjunto vazio, mas têm singleton diferentes:
. Logo os dois conjuntos de partes não são iguais. Portanto a afirmação
é verdadeira.
Passo 5
Agora analiso a segunda afirmação. Primeiro computo
. União é simplesmente todos os elementos que aparecem em pelo menos um dos conjuntos.
Listas:
Portanto
Esse conjunto tem 4 elementos, então
tem
subconjuntos (todos os subconjuntos formados por esses quatro pares).
Passo 6
Agora calculo qualitativamente
.
-
é o conjunto de todas as partes de . Como tem 4 elementos, também tem subconjuntos. Esses subconjuntos são formados por pares cujas segundas componentes são ou . -
é o conjunto de todas as partes de . Tem 4 subconjuntos e todos eles são conjuntos cujos elementos têm segunda componente .
A união
contém, por exemplo, o subconjunto
porque
. Mas
NÃO é subconjunto de
(pois
; em
todos os pares têm segunda componente
). Assim
mas
.
Portanto há um elemento na direita que não pertence à esquerda, logo
A afirmação
é falsa.
Passo 7
Resumo das conclusões: a primeira afirmação é verdadeira; a segunda é falsa. Mantém-se a explicação de por que — no primeiro caso os conjuntos de partes diferem porque os singletons são diferentes; no segundo, há subconjuntos formados por pares de
que não são subconjuntos de
, logo igualdade falha.
Resposta
V
F
F