Considerando os conjuntos
\begin{aligned} & V=\{d\} \times\{c\}, \quad W=\{c, d\} \times\{a, c\}, \quad X=\{a, b, c\} \times\{d\}, \quad Y=\{a, b\} \times\{d\} \quad \mathrm{e} \\\ & \quad Z=\{a, b, d\} \times\{d\} \end{aligned}
Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F):
\begin{array}{ll} \circ & \mathscr{P}(X-Y) \neq \mathscr{P}(Z-Y) \\\ \circ & \mathscr{P}(Z \cup X)=\mathscr{P}(W) \cup \mathscr{P}(Y) \end{array}

Passo 1

O enunciado dá cinco conjuntos definidos por produto cartesiano. Vou listar explicitamente o que cada um contém (peguei todos os elementos diretamente do enunciado) e dizer claramente o que é pedido.
Dados:
\begin{aligned} & V=\{d\}\times\{c\},\\\ & W=\{c,d\}\times\{a,c\},\\\ & X=\{a,b,c\}\times\{d\},\\\ & Y=\{a,b\}\times\{d\},\\\ & Z=\{a,b,d\}\times\{d\}. \end{aligned}
O que é pedido:
  • Determinar se a afirmação \mathscr{P}(X-Y) \neq \mathscr{P}(Z-Y) é verdadeira (V) ou falsa (F).
  • Determinar se a afirmação \mathscr{P}(Z \cup X)=\mathscr{P}(W) \cup \mathscr{P}(Y) é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

Primeiro, lembro (curtinha e prática) o que é produto cartesiano: para conjuntos A e B,
A\times B=\{(x,y)\mid x\in A,\\ y\in B\}.
Agora escrevo cada conjunto como lista de pares ordenados, construindo-os explicitamente (isso ajuda muito para fazer diferenças e uniões):
  • \;V=\{d\}\times\{c\}=\{(d,c)\}.
  • \;W=\{c,d\}\times\{a,c\}=\{(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\}.
    (Expandiu-se combinando cada elemento da primeira componente com cada da segunda.)
  • \;X=\{a,b,c\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d),(c,d)\}.
  • \;Y=\{a,b\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d)\}.
  • \;Z=\{a,b,d\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d),(d,d)\}.
Observação: cada elemento aqui é um par ordenado, e atenção aos pares iguais ou diferentes (por exemplo (c,d) é diferente de (d,c)).

Passo 3

Agora aplico a operação de diferença de conjuntos. Lembrando: para conjuntos A e B,
A-B=\{x\in A\mid x\notin B\}.
Calculo \;X-Y:
X=\{(a,d),(b,d),(c,d)\},\qquad Y=\{(a,d),(b,d)\},
portanto
X-Y=\{(c,d)\}.
Calculo \;Z-Y:
Z=\{(a,d),(b,d),(d,d)\},\qquad Y=\{(a,d),(b,d)\},
portanto
Z-Y=\{(d,d)\}.
Ambos X-Y e Z-Y têm exatamente um elemento, mas são elementos diferentes: um é (c,d) e o outro é (d,d).

Passo 4

Explico rapidamente o que é a potência (conjunto das partes): para qualquer conjunto A,
\mathscr{P}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}.
Se A tem n elementos, \mathscr{P}(A) tem 2^n elementos.
Aplicando isso a X-Y e Z-Y, que são conjuntos unitários:
X-Y=\{(c,d)\}\quad\Rightarrow\quad \mathscr{P}(X-Y)=\{\varnothing,\{(c,d)\}\}.
Z-Y=\{(d,d)\}\quad\Rightarrow\quad \mathscr{P}(Z-Y)=\{\varnothing,\{(d,d)\}\}.
Comparação: ambas têm o conjunto vazio, mas têm singleton diferentes: \{(c,d)\}\neq\{(d,d)\}. Logo os dois conjuntos de partes não são iguais. Portanto a afirmação
\mathscr{P}(X-Y) \neq \mathscr{P}(Z-Y)
é verdadeira.

Passo 5

Agora analiso a segunda afirmação. Primeiro computo Z\cup X. União é simplesmente todos os elementos que aparecem em pelo menos um dos conjuntos.
Listas:
X=\{(a,d),(b,d),(c,d)\},\qquad Z=\{(a,d),(b,d),(d,d)\}.
Portanto
Z\cup X=\{(a,d),(b,d),(c,d),(d,d)\}.
Esse conjunto tem 4 elementos, então
\mathscr{P}(Z\cup X)
tem 2^4=16 subconjuntos (todos os subconjuntos formados por esses quatro pares).

Passo 6

Agora calculo qualitativamente \mathscr{P}(W)\cup\mathscr{P}(Y).
  • \mathscr{P}(W) é o conjunto de todas as partes de W. Como W=\{(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\} tem 4 elementos, \mathscr{P}(W) também tem 16 subconjuntos. Esses subconjuntos são formados por pares cujas segundas componentes são a ou c.
  • \mathscr{P}(Y) é o conjunto de todas as partes de Y=\{(a,d),(b,d)\}. Tem 4 subconjuntos e todos eles são conjuntos cujos elementos têm segunda componente d.
A união \mathscr{P}(W)\cup\mathscr{P}(Y) contém, por exemplo, o subconjunto \{(c,a)\} porque \{(c,a)\}\in\mathscr{P}(W). Mas \{(c,a)\} NÃO é subconjunto de Z\cup X (pois (c,a)\notin Z\cup X; em Z\cup X todos os pares têm segunda componente d). Assim \{(c,a)\}\in \mathscr{P}(W)\cup\mathscr{P}(Y) mas \{(c,a)\}\notin\mathscr{P}(Z\cup X).
Portanto há um elemento na direita que não pertence à esquerda, logo
\mathscr{P}(Z\cup X)\neq \mathscr{P}(W)\cup\mathscr{P}(Y).
A afirmação \mathscr{P}(Z \cup X)=\mathscr{P}(W) \cup \mathscr{P}(Y) é falsa.

Passo 7

Resumo das conclusões: a primeira afirmação é verdadeira; a segunda é falsa. Mantém-se a explicação de por que — no primeiro caso os conjuntos de partes diferem porque os singletons são diferentes; no segundo, há subconjuntos formados por pares de W que não são subconjuntos de Z\cup X, logo igualdade falha.

Resposta

V
F

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