Considerando os conjuntos
\begin{aligned} & V=\{d\} \times\{c\}, \quad W=\{c, d\} \times\{a, c\}, \quad X=\{a, b, c\} \times\{d\}, \quad Y=\{a, b\} \times\{d\} \quad \mathrm{e} \\\ & \quad Z=\{a, b, d\} \times\{d\} \end{aligned}
Apresente a definição por lista dos seguintes conjuntos das partes:
\mathscr{P}(W), \quad \mathscr{P}(Y), \quad \mathscr{P}(X-Y), \quad \mathscr{P}(Z-Y) \quad \text { e } \quad \mathscr{P}(X \cup Z)

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos (peguei estes conjuntos do enunciado):
\begin{aligned} & V=\{d\}\times\{c\},\qquad W=\{c,d\}\times\{a,c\},\qquad X=\{a,b,c\}\times\{d\},\\\ & Y=\{a,b\}\times\{d\},\qquad Z=\{a,b,d\}\times\{d\}. \end{aligned}
O que é pedido: apresentar, por lista, os conjuntos das partes
\mathscr{P}(W),\quad \mathscr{P}(Y),\quad \mathscr{P}(X-Y),\quad \mathscr{P}(Z-Y)\quad\text{e}\quad \mathscr{P}(X\cup Z).

Passo 2

Relembre rápido (definição e como vamos proceder): a parte (ou conjunto das partes) de um conjunto A, denotada \mathscr{P}(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Se A tem n elementos, então \mathscr{P}(A) tem 2^n elementos. Vou primeiro listar explicitamente os elementos dos conjuntos W,Y,X,Z (isso facilita montar as partes).
Calculemos os produtos cartesianos dados:
W=\{c,d\}\times\{a,c\}=\{(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\}.
Y=\{a,b\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d)\}.
X=\{a,b,c\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d),(c,d)\}.
Z=\{a,b,d\}\times\{d\}=\{(a,d),(b,d),(d,d)\}.

Passo 3

Vamos obter X-Y e Z-Y (diferença de conjuntos): lembrar que A-B são os elementos de A que não pertencem a B.
Os elementos de Y são \{(a,d),(b,d)\}. Portanto:
X-Y=\{(a,d),(b,d),(c,d)\}\setminus\{(a,d),(b,d)\}=\{(c,d)\}.
Z-Y=\{(a,d),(b,d),(d,d)\}\setminus\{(a,d),(b,d)\}=\{(d,d)\}.

Passo 4

Contagem rápida antes de listar: |W|=4 então |\mathscr{P}(W)|=2^4=16. |Y|=2 então |\mathscr{P}(Y)|=4. |X-Y|=1 então |\mathscr{P}(X-Y)|=2. |Z-Y|=1 então |\mathscr{P}(Z-Y)|=2. X\cup Z terá 4 elementos (veremos a seguir), então |\mathscr{P}(X\cup Z)|=16.

Passo 5

Agora listo sistematicamente \mathscr{P}(W). Para facilitar, chame os elementos de W por ordem:
p=(c,a),\quad q=(c,c),\quad r=(d,a),\quad s=(d,c).
Os 16 subconjuntos são todas as combinações possíveis desses quatro elementos. Assim:
\begin{aligned} \mathscr{P}(W)=\{&\varnothing,\{p\},\{q\},\{r\},\{s\},\\\ &\{p,q\},\{p,r\},\{p,s\},\{q,r\},\{q,s\},\{r,s\},\\\ &\{p,q,r\},\{p,q,s\},\{p,r,s\},\{q,r,s\},\{p,q,r,s\}\}. \end{aligned}
Voltando aos pares originais (\cdot,\cdot), isto é:
\begin{aligned} \mathscr{P}(W)=\{&\varnothing,\{(c,a)\},\{(c,c)\},\{(d,a)\},\{(d,c)\},\\\ &\{(c,a),(c,c)\},\{(c,a),(d,a)\},\{(c,a),(d,c)\},\\\ &\{(c,c),(d,a)\},\{(c,c),(d,c)\},\{(d,a),(d,c)\},\\\ &\{(c,a),(c,c),(d,a)\},\{(c,a),(c,c),(d,c)\},\\\ &\{(c,a),(d,a),(d,c)\},\{(c,c),(d,a),(d,c)\},\\\ &\{(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\}\}. \end{aligned}

Passo 6

Listo \mathscr{P}(Y). Como Y=\{(a,d),(b,d)\}, os subconjuntos são:
\mathscr{P}(Y)=\{\varnothing,\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(a,d),(b,d)\}\}.

Passo 7

Listo \mathscr{P}(X-Y). Como X-Y=\{(c,d)\}, seus subconjuntos são apenas o vazio e o conjunto unitário:
\mathscr{P}(X-Y)=\{\varnothing,\{(c,d)\}\}.

Passo 8

Listo \mathscr{P}(Z-Y). Como Z-Y=\{(d,d)\}, temos:
\mathscr{P}(Z-Y)=\{\varnothing,\{(d,d)\}\}.

Passo 9

Finalmente, calcule X\cup Z. Temos
X=\{(a,d),(b,d),(c,d)\},\qquad Z=\{(a,d),(b,d),(d,d)\},
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X\cup Z=\{(a,d),(b,d),(c,d),(d,d)\}.
Agora \mathscr{P}(X\cup Z) é o conjunto de todos os subconjuntos desses quatro elementos; existem 2^4=16 deles. Denotando
u=(a,d),\quad v=(b,d),\quad w=(c,d),\quad t=(d,d),
temos a lista completa:
\begin{aligned} \mathscr{P}(X\cup Z)=\{&\varnothing,\{u\},\{v\},\{w\},\{t\},\\\ &\{u,v\},\{u,w\},\{u,t\},\{v,w\},\{v,t\},\{w,t\},\\\ &\{u,v,w\},\{u,v,t\},\{u,w,t\},\{v,w,t\},\{u,v,w,t\}\}. \end{aligned}
Retornando aos pares:
\begin{aligned} \mathscr{P}(X\cup Z)=\{&\varnothing,\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(c,d)\},\{(d,d)\},\\\ &\{(a,d),(b,d)\},\{(a,d),(c,d)\},\{(a,d),(d,d)\},\\\ &\{(b,d),(c,d)\},\{(b,d),(d,d)\},\{(c,d),(d,d)\},\\\ &\{(a,d),(b,d),(c,d)\},\{(a,d),(b,d),(d,d)\},\\\ &\{(a,d),(c,d),(d,d)\},\{(b,d),(c,d),(d,d)\},\\\ &\{(a,d),(b,d),(c,d),(d,d)\}\}. \end{aligned}

Resposta

\mathscr{P}(W)=\{\varnothing,\{(c,a)\},\{(c,c)\},\{(d,a)\},\{(d,c)\},\{(c,a),(c,c)\},\{(c,a),(d,a)\},\{(c,a),(d,c)\},\{(c,c),(d,a)\},\{(c,c),(d,c)\},\{(d,a),(d,c)\},\{(c,a),(c,c),(d,a)\},\{(c,a),(c,c),(d,c)\},\{(c,a),(d,a),(d,c)\},\{(c,c),(d,a),(d,c)\},\{(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\}\}
\mathscr{P}(Y)=\{\varnothing,\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(a,d),(b,d)\}\}
\mathscr{P}(X-Y)=\{\varnothing,\{(c,d)\}\}
\mathscr{P}(Z-Y)=\{\varnothing,\{(d,d)\}\}
\mathscr{P}(X\cup Z)=\{\varnothing,\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(c,d)\},\{(d,d)\},\{(a,d),(b,d)\},\{(a,d),(c,d)\},\{(a,d),(d,d)\},\{(b,d),(c,d)\},\{(b,d),(d,d)\},\{(c,d),(d,d)\},\{(a,d),(b,d),(c,d)\},\{(a,d),(b,d),(d,d)\},\{(a,d),(c,d),(d,d)\},\{(b,d),(c,d),(d,d)\},\{(a,d),(b,d),(c,d),(d,d)\}\}

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