A duração de um certo tipo de pneu, em quilometros rodados, é uma variável aleatória normal com duração média de 60.000 Km e desvio padrão de 10.000 Km. qual a probabilidade de um pneu durar:
a) Entre 50.000 e 70.000 Km ?
b) Exatamente 65.555 Km ?
c) O fabricante deseja fixar uma garantia de fábrica tal, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado gratuitamente. De quanto deve ser essa garantia para que no máximo
dos pneus sejam trocados?
a) Entre 50.000 e 70.000 Km ?
b) Exatamente 65.555 Km ?
c) O fabricante deseja fixar uma garantia de fábrica tal, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado gratuitamente. De quanto deve ser essa garantia para que no máximo
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
- A duração do pneu é uma variável aleatória normal com média
km e desvio padrão km. - Ou seja,
.
O que é pedido:
(a) A probabilidade de o pneu durar entre e
km, isto é, calcular
.
(b) A probabilidade de durar exatamente km, isto é, calcular
.
(c) Determinar uma garantia (valor em km) tal que no máximo
dos pneus sejam trocados; matematicamente, achar
tal que
.
(a) A probabilidade de o pneu durar entre
(b) A probabilidade de durar exatamente
(c) Determinar uma garantia
Passo 2
Breve aula: distribuição normal e padronização (o truque que se usa sempre).
- A variável
tem distribuição normal com média e desvio padrão . As probabilidades do tipo são calculadas usando a função distribuição acumulada (CDF) da normal. - Em vez de trabalhar diretamente com
, padronizamos para obter a normal padrão , definida por
Aqui
tem média
e desvio padrão
, isto é
.
- Então qualquer probabilidade envolvendo
transforma-se em uma probabilidade envolvendo via
- Para obter números concretos usa-se a tabela da normal padrão (ou calculadora), que fornece
. Uma propriedade útil por simetria é .
Passo 3
Resolver (a). Vamos padronizar os extremos
e
:
- Calcular o
correspondente a :
- Calcular o
correspondente a :
Logo
Usando a tabela da normal padrão:
. Pela simetria,
Substituindo o valor:
Interpretação prática: cerca de
dos pneus durarão entre
e
km.
Passo 4
Resolver (b). Explicação conceitual sobre variáveis contínuas:
- Para uma variável aleatória contínua (como a normal), a probabilidade de tomar exatamente um valor específico é zero, porque há infinitos valores possíveis num intervalo e a massa de probabilidade em um único ponto é nula.
- Matematicamente,
Dica prática: na prova, se perguntarem “probabilidade exatamente igual a um valor” para variáveis contínuas, responda
e explique que a CDF é contínua e não há massa pontual.
Passo 5
Resolver (c). Objetivo: achar
tal que
.
- Padronizando, queremos
- Isso significa que o quantil correspondente a
da normal padrão é
Usando tabela inversa (ou calculadora de quantis), tem-se aproximadamente
(Se a tabela só der aproximações, pode usar
e obter resultado muito próximo.)
- Agora desfazendo a padronização:
Substituindo
,
e
,
Interpretação prática: se a fábrica fixar a garantia em cerca de
km, então apenas
dos pneus terão duração inferior a essa garantia e serão trocados.
Passo 6
Resumo final e dica amiga:
- (a) Use padronização e tabelas: para limites simétricos
veio o famoso ~68% (a regra empírica). - (b) Não tenha medo de dizer “zero” — é a resposta correta para ponto em contínua.
- (c) Para quantis extremos use a tabela inversa; arredonde a garantia para um número prático se for preciso (por exemplo,
km), mas o valor teórico pedido é km aproximadamente. Força aí — com esses passos tu faz esse tipo de questão na prova tranquilo!