A duração de um certo tipo de pneu, em quilometros rodados, é uma variável aleatória normal com duração média de 60.000 Km e desvio padrão de 10.000 Km. qual a probabilidade de um pneu durar:
a) Entre 50.000 e 70.000 Km ?
b) Exatamente 65.555 Km ?
c) O fabricante deseja fixar uma garantia de fábrica tal, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado gratuitamente. De quanto deve ser essa garantia para que no máximo 1 \% dos pneus sejam trocados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
  • A duração do pneu é uma variável aleatória normal com média \mu = 60\,000 km e desvio padrão \sigma = 10\,000 km.
  • Ou seja, X \sim N(\mu,\sigma^{2}) = N\bigl(60\,000, (10\,000)^{2}\bigr).
O que é pedido:
(a) A probabilidade de o pneu durar entre 50\,000 e 70\,000 km, isto é, calcular \mathbb{P}\bigl(50\,000 < X < 70\,000\bigr).
(b) A probabilidade de durar exatamente 65\,555 km, isto é, calcular \mathbb{P}\bigl(X = 65\,555\bigr).
(c) Determinar uma garantia g (valor em km) tal que no máximo 1\% dos pneus sejam trocados; matematicamente, achar g tal que \mathbb{P}(X < g) = 0{,}01.

Passo 2

Breve aula: distribuição normal e padronização (o truque que se usa sempre).
  • A variável X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma. As probabilidades do tipo \mathbb{P}(a<X<b) são calculadas usando a função distribuição acumulada (CDF) da normal.
  • Em vez de trabalhar diretamente com X, padronizamos para obter a normal padrão Z, definida por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem média 0 e desvio padrão 1, isto é Z\sim N(0,1).
  • Então qualquer probabilidade envolvendo X transforma-se em uma probabilidade envolvendo Z via
\mathbb{P}(a<X<b)=\mathbb{P}\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right).
  • Para obter números concretos usa-se a tabela da normal padrão (ou calculadora), que fornece \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Uma propriedade útil por simetria é \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Resolver (a). Vamos padronizar os extremos 50\,000 e 70\,000:
  • Calcular o z correspondente a 50\,000:
z_1=\frac{50\,000-\mu}{\sigma}=\frac{50\,000-60\,000}{10\,000}=\frac{-10\,000}{10\,000}=-1.
  • Calcular o z correspondente a 70\,000:
z_2=\frac{70\,000-\mu}{\sigma}=\frac{70\,000-60\,000}{10\,000}=\frac{10\,000}{10\,000}=1.
Logo
\mathbb{P}\bigl(50\,000<X<70\,000\bigr)=\mathbb{P}(-1<Z<1).
Usando a tabela da normal padrão: \Phi(1)\approx 0{,}84134. Pela simetria,
\mathbb{P}(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.
Substituindo o valor:
2\cdot 0{,}84134 -1 = 0{,}68268\approx 0{,}6827.
Interpretação prática: cerca de 68{,}27\% dos pneus durarão entre 50\,000 e 70\,000 km.

Passo 4

Resolver (b). Explicação conceitual sobre variáveis contínuas:
  • Para uma variável aleatória contínua (como a normal), a probabilidade de tomar exatamente um valor específico é zero, porque há infinitos valores possíveis num intervalo e a massa de probabilidade em um único ponto é nula.
  • Matematicamente,
\mathbb{P}\bigl(X=65\,555\bigr)=0.
Dica prática: na prova, se perguntarem “probabilidade exatamente igual a um valor” para variáveis contínuas, responda 0 e explique que a CDF é contínua e não há massa pontual.

Passo 5

Resolver (c). Objetivo: achar g tal que \mathbb{P}(X<g)=0{,}01.
  • Padronizando, queremos
\mathbb{P}\!\left(Z<\frac{g-\mu}{\sigma}\right)=0{,}01.
  • Isso significa que o quantil correspondente a 0{,}01 da normal padrão é
z_{0{,}01}=\Phi^{-1}(0{,}01).
Usando tabela inversa (ou calculadora de quantis), tem-se aproximadamente
z_{0{,}01}\approx -2{,}3263.
(Se a tabela só der aproximações, pode usar -2{,}33 e obter resultado muito próximo.)
  • Agora desfazendo a padronização:
\frac{g-\mu}{\sigma}=z_{0{,}01}\quad\Rightarrow\quad g=\mu + z_{0{,}01}\,\sigma.
Substituindo \mu=60\,000, \sigma=10\,000 e z_{0{,}01}\approx -2{,}3263,
g = 60\,000 + (-2{,}3263)\cdot 10\,000 = 60\,000 - 23\,263 = 36\,737\\ \text{(aproximadamente)}.
Interpretação prática: se a fábrica fixar a garantia em cerca de 36\,737 km, então apenas 1\% dos pneus terão duração inferior a essa garantia e serão trocados.

Passo 6

Resumo final e dica amiga:
  • (a) Use padronização e tabelas: para limites simétricos \pm1 veio o famoso ~68% (a regra empírica).
  • (b) Não tenha medo de dizer “zero” — é a resposta correta para ponto em contínua.
  • (c) Para quantis extremos use a tabela inversa; arredonde a garantia para um número prático se for preciso (por exemplo, 37\,000 km), mas o valor teórico pedido é 36\,737 km aproximadamente. Força aí — com esses passos tu faz esse tipo de questão na prova tranquilo!

Resposta

\mathbb{P}(50\,000<X<70\,000)=0{,}6827
\mathbb{P}(X=65\,555)=0
g\approx 36\,737\\ \text{km}

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