Considerando que P=25 kN e a=6 m, determine os esforços internos de cada membro da treliça de aço, indicando se o mesmo sofre tração ou compressão.
Obs. A e B representam apoios fixo e móvel, respectivamente.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos uma treliça triangular apoiada em A (engaste) e B (rolete), carregada no nó C com uma força vertical P=25 kN. A base AB tem comprimento 2a (logo, cada metade vale a=6,m) e a altura até C também é a (assumimos isso pra completar a geometria).
Conteúdo: equilíbrio estático de treliças pelo método dos nós. Vamos precisar
  • Calcular reações de apoio com as equações de equilíbrio geral (∑Forças = 0, ∑Momentos = 0).
  • Depois, resolver cada nó isoladamente para achar as forças internas nos membros AC, BC e AB.

Passo 2

(1) Reações de apoio
Como a carga P está no meio da base, por simetria:
Ay = By = P2 = 252 = 12,5 kN,
Não há carga horizontal externa, mas surgem forças horizontais nos apoios por causa dos membros inclinados. Vamos encontrar no fim.

Passo 3

(2) Geometria e ângulo dos membros inclinados
O membro AC (e BC) tem comprimento
ell = raiza^2 + a^2 = araiz2,,
e forma um ângulo theta com a horizontal tal que
$$\sin\theta = \frac{altura}{\ell} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac1{\sqrt2},\quad
\cos\theta = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac1{\sqrt2},. $$

Passo 4

(3) Equilíbrio no nó C
No nó C atuam:
  • A carga P para baixo.
  • As forças FAC e FBC nos membros inclinados, simétricas.
Equilíbrio vertical em C:
2,FAC,sintheta - P = 0 Rightarrow FAC = P2,sintheta = 252,(1/raiz2) = 25raiz22 approx 17,68 kN,
Como essas forças puxam o nó para fora, os membros AC e BC estão em tração.

Passo 5

(4) Equilíbrio no nó A (ou em B) para achar o membro AB
No nó A atuam:
  • A reação horizontal Ax do apoio.
  • A força FAC no membro AC, com componente horizontal FACcostheta.
  • A força no membro AB, chamemos FAB.
∑Forças horizontais = 0 em A:
FACcostheta - FAB + Ax = 0,
Mas como o apoio A engasta, Ax acaba igualando o desequilíbrio. Para achar FAB basta perceber que os apoios trocam horizontalmente forcas iguais e opostas, e não temos carga externa horizontal, então
$$F_{AB} = F_{AC}\cos\theta
= 17{,}68\cdot\frac1{\sqrt2}
= 12{,}50kN,. $$
Pelo sinal (ele “empurra” o nó A para dentro), o membro AB fica em compressão.

Resposta

F_{AC} = F_{BC} = 17,68 kN (tração)
F_{AB} = 12,50 kN (compressão)

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