Considerando que
e
, determine os esforços internos de cada membro da treliça de aço, indicando se o mesmo sofre tração ou compressão.
Obs. A e B representam apoios fixo e móvel, respectivamente.
Obs. A e B representam apoios fixo e móvel, respectivamente.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos uma treliça triangular apoiada em A (engaste) e B (rolete), carregada no nó C com uma força vertical
. A base AB tem comprimento
(logo, cada metade vale
m) e a altura até C também é
(assumimos isso pra completar a geometria).
Conteúdo: equilíbrio estático de treliças pelo método dos nós. Vamos precisar
Conteúdo: equilíbrio estático de treliças pelo método dos nós. Vamos precisar
- Calcular reações de apoio com as equações de equilíbrio geral (∑Forças = 0, ∑Momentos = 0).
- Depois, resolver cada nó isoladamente para achar as forças internas nos membros AC, BC e AB.
Passo 2
(1) Reações de apoio
Como a carga está no meio da base, por simetria:
Como a carga
Não há carga horizontal externa, mas surgem forças horizontais nos apoios por causa dos membros inclinados. Vamos encontrar no fim.
Passo 3
(2) Geometria e ângulo dos membros inclinados
O membro AC (e BC) tem comprimento
O membro AC (e BC) tem comprimento
e forma um ângulo
$$\sin\theta = \frac{altura}{\ell} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac1{\sqrt2},\quad
\cos\theta = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac1{\sqrt2},. $$
Passo 4
(3) Equilíbrio no nó C
No nó C atuam:
No nó C atuam:
- A carga
para baixo. - As forças
e nos membros inclinados, simétricas.
Equilíbrio vertical em C:
Como essas forças puxam o nó para fora, os membros AC e BC estão em tração.
Passo 5
(4) Equilíbrio no nó A (ou em B) para achar o membro AB
No nó A atuam:
No nó A atuam:
- A reação horizontal
do apoio. - A força
no membro AC, com componente horizontal . - A força no membro AB, chamemos
.
∑Forças horizontais = 0 em A:
Mas como o apoio A engasta,
$$F_{AB} = F_{AC}\cos\theta
= 17{,}68\cdot\frac1{\sqrt2}
= 12{,}50kN,. $$
Pelo sinal (ele “empurra” o nó A para dentro), o membro AB fica em compressão.
Resposta
F_{AC} = F_{BC} = 17,68 kN (tração)
F_{AB} = 12,50 kN (compressão)
F_{AB} = 12,50 kN (compressão)