f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x^{2}+y^{2}}{x-y}, & \text { se } x \neq y \\\\ 0, & \text { se } x=y\end{cases}
(a) Em quais pontos esta função possui derivadas parciais de primeira ordem? Determin e \frac{\partial f}{\partial y} nestes pontos.
(b) Há pontos nos quais f não possui derivadas parciais? Justifique.
O que é pedido:
(a) Em quais pontos a função possui derivadas parciais de primeira ordem? Determinar \dfrac{\partial f}{\partial y} nesses pontos.
(b) Indicar se há pontos onde f não possui derivadas parciais e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão racional \dfrac{2x^{2}+y^{2}}{x-y} vale sempre que x\neq y.
Na reta diagonal x=y o valor é fixado igual a 0.
Para verificar existência de derivadas parciais em pontos onde a definição é por pedaços, é preciso usar a definição limite da derivada parcial (não confiar só em regras de derivação).]
Passo 2
Relembrando a definição de derivada parcial (aula rápida e prática):
A derivada parcial em relação a y em um ponto (a,b) é o limite (se existir)
Para pontos onde a função é dada por uma expressão algébrica diferenciável (por exemplo quociente de polinômios com denominador não nulo), podemos usar as regras usuais (derivada de quociente) para obter a derivada parcial.
Quando a função muda de fórmula (pedaço) ao aproximarmos, devemos usar a definição por limites para verificar existência e calcular valores.
Vou aplicar esses dois procedimentos: (i) usar regras de derivação para pontos com x\neq y; (ii) usar a definição por limite para pontos com x=y.
Passo 3
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} para pontos com x\neq y (usando derivação direta).
Observação didática: como a expressão original é um quociente de polinômios com denominador (x-y) que não é zero quando x\neq y, a função é C^{\infty} (suave) nessa região; assim tanto \partial f/\partial x quanto \partial f/\partial y existem e são dadas pelas regras usuais para todo (x,y) tal que x\neq y.
Passo 4
Agora tratamos os pontos da diagonal x=y. Precisamos verificar existência das derivadas parciais usando a definição limite. Primeiro \partial f/\partial y em um ponto genérico (a,a).
Para a\neq 0 os termos -\dfrac{3a^{2}}{h^{2}} e -\dfrac{2a}{h} divergem quando h\to 0. Portanto o limite não existe (tende a infinito ou não existe finitamente). Conclusão: para qualquer ponto (a,a) com a\neq 0 a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,a) não existe.
Portanto a derivada parcial em relação a y em (0,0) existe e vale -1.
Passo 6
Resumo e fechamento das conclusões (com justificativas claras):
Em todos os pontos com x\neq y a função é dada por uma expressão racional suave; logo ambas as derivadas parciais de primeira ordem existem aí. Especificamente, para x\neq y,
Nos pontos da diagonal x=y é preciso usar a definição limite. O cálculo mostrou que:
Para (a,a) com a\neq 0 o limite que define \partial f/\partial y diverge (não existe finitamente). Logo \partial f/\partial y não existe nesses pontos.
Para (0,0) o limite existe e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.
Conclusão prática: as derivadas parciais de primeira ordem existem para todos os (x,y) com x\neq y e também em (0,0); nas demais pontos da diagonal x=y (ou seja, (a,a) com a\neq 0) as derivadas parciais não existem. Como justificativa exemplar para não existência basta o cálculo que mostra termos do tipo 1/h^{2} ou 1/h no limite definidor, que explode quando h\to 0.
Se desejar, posso também mostrar explicitamente o cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} em (0,0) (resultado: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=2) para completar o quadro das duas derivadas parciais na origem.
Resposta
(a) As derivadas parciais de primeira ordem existem em todos os pontos com x\neq y e também em (0,0). Para x\neq y,
Além disso \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.
(b) Sim. Nos pontos da diagonal (a,a) com a\neq 0 a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y} (e, analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial x}) não existe, pois a definição por limite fornece termos que divergem (aparecem 1/h^{2} e 1/h quando h\to 0), portanto o limite não existe nesses pontos.