Derive:
f(x)=\cos (x)+\frac{1}{x^{2}}+\ln x+\pi

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\cos(x)+\frac{1}{x^{2}}+\ln x+\pi.
Informações dadas e restrições importantes:
  • A função contém \ln x, portanto o domínio natural para o qual a derivada faz sentido é x>0.
  • Temos uma soma de quatro termos: \cos(x), \dfrac{1}{x^{2}}, \ln x e a constante \pi.
    A tarefa é calcular f'(x) para x>0.

Passo 2

Regra que vamos usar: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
Portanto podemos derivar termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)+\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)+\frac{d}{dx}(\pi).

Passo 3

Derivada do primeiro termo \cos(x).
  • Fórmula conhecida: a derivada de \cos(x) é -\sin(x). (Isto vem da definição limite ou das derivadas básicas das funções trigonométricas.)
    Logo,
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).

Passo 4

Derivada do segundo termo \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Primeiro reescreve-se \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
  • Usa-se a regra da potência: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-2:
\frac{d}{dx}\!\left(x^{-2}\right)=-2 x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \ln x.
  • Uma forma simples de ver a derivada: se y=\ln x então e^{y}=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
e^{y}\frac{dy}{dx}=1\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},\qquad x>0.

Passo 6

Derivada do quarto termo \pi.
  • \pi é constante, então sua derivada é 0:
\frac{d}{dx}(\pi)=0.

Passo 7

Juntando todas as parcelas (somando as derivadas obtidas nos passos anteriores):
f'(x)=-\sin(x)-\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}+0.
Podemos simplificar os termos racionais combinando-os com denominador comum x^{3}:
-\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}=-\frac{2}{x^{3}}+\frac{x^{2}}{x^{3}}=\frac{x^{2}-2}{x^{3}}.
Portanto uma forma simplificada da derivada é
f'(x)=-\sin(x)+\frac{x^{2}-2}{x^{3}},\qquad x>0.

Resposta

f'(x)=-\sin(x)+\frac{x^{2}-2}{x^{3}},\qquad x>0.

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