Derive:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas e restrições importantes:
- A função contém
, portanto o domínio natural para o qual a derivada faz sentido é . - Temos uma soma de quatro termos:
, , e a constante .
A tarefa é calcularpara .
Passo 2
Regra que vamos usar: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
Portanto podemos derivar termo a termo:
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
- Fórmula conhecida: a derivada de
é . (Isto vem da definição limite ou das derivadas básicas das funções trigonométricas.)
Logo,
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
- Primeiro reescreve-se
. - Usa-se a regra da potência: para qualquer real
,
Aplicando com
:
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
- Uma forma simples de ver a derivada: se
então . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Portanto
Passo 6
Derivada do quarto termo
.
-
é constante, então sua derivada é :
Passo 7
Juntando todas as parcelas (somando as derivadas obtidas nos passos anteriores):
Podemos simplificar os termos racionais combinando-os com denominador comum
:
Portanto uma forma simplificada da derivada é