Considere as seguintes afirmações:
I. Se f(x)=e^{\cos x} então f^{\prime}(x)=-e^{\cos x} \operatorname{sen} x.
II. Se g(x)=\operatorname{arctg}\left(1+e^{x}\right) então g^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{1+\left(1+e^{x}\right)^{2}}.
III. Se h(x)=2 \ln \left(1+x^{4}\right) então h^{\prime}(x)=\frac{8 x^{3}}{1+x^{4}}.
É CORRETO afirmar que:
(a) As afirmações I e II são verdadeiras e III é falsa.
(b) As afirmações II e III são verdadeiras e I é falsa.
(c) As afirmações I e III são verdadeiras e II é falsa.
(d) As afirmações I, II e III são falsas.
(e) As afirmações I, II e III são verdadeiras.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas três afirmações sobre derivadas:
    • I. Se f(x)=e^{\cos x} então f^{\prime}(x)=-e^{\cos x}\operatorname{sen} x.
    • II. Se g(x)=\operatorname{arctg}\left(1+e^{x}\right) então g^{\prime}(x)=\dfrac{e^{x}}{1+\left(1+e^{x}\right)^{2}}.
    • III. Se h(x)=2 \ln \left(1+x^{4}\right) então h^{\prime}(x)=\dfrac{8 x^{3}}{1+x^{4}}.
  • O que é pedido: determinar quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (a), (b), (c), (d) ou (e).

Passo 2

Regra principal que vamos usar — Regra da cadeia (explicada passo a passo).
  • Se uma função é composta F(x)=\Phi\big(U(x)\big), onde U(x) é a função interna e \Phi(u) a função externa, a derivada é
F'(x)=\Phi'\big(U(x)\big)\,U'(x).
  • Aqui:
    • \Phi' é a derivada da função externa em termos da variável intermediária u.
    • U'(x) é a derivada da função interna em termos de x.
  • Exemplinho rápido (concreto): se F(x)=e^{2x}, trata-se de \Phi(u)=e^{u} com U(x)=2x; então F'(x)=e^{2x}\cdot 2.

Passo 3

Análise da afirmação I (detalhar cada etapa).
  • Dada f(x)=e^{\cos x}. Identificamos:
    • função externa \Phi(u)=e^{u},
    • função interna U(x)=\cos x.
  • Derivadas necessárias:
    • \Phi'(u)=e^{u} (derivada da exponencial),
    • U'(x)=(\cos x)'=-\sin x.
  • Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\Phi'\big(U(x)\big)\,U'(x)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x.
  • Conclusão para I: a expressão dada em I é exatamente -e^{\cos x}\sin x (note que \operatorname{sen} x é o mesmo que \sin x). Portanto, I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação II (detalhar cada etapa).
  • Dada g(x)=\operatorname{arctg}\big(1+e^{x}\big). Usaremos que a derivada de \arctan u é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Identificamos:
    • função externa \Phi(u)=\arctan u,
    • função interna U(x)=1+e^{x}.
  • Derivadas necessárias:
    • \Phi'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}},
    • U'(x)=(1+e^{x})' = e^{x}.
  • Aplicando a regra da cadeia:
g'(x)=\Phi'\big(U(x)\big)\,U'(x)=\frac{1}{1+\big(1+e^{x}\big)^{2}}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{1+\big(1+e^{x}\big)^{2}}.
  • Conclusão para II: a expressão dada em II coincide com o resultado, logo II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação III (detalhar cada etapa).
  • Dada h(x)=2\ln\big(1+x^{4}\big).
  • Duas regras usadas: multiplicação por constante e derivada do logaritmo natural.
    • Se k é constante e H(x)=k\cdot L(x), então H'(x)=k\cdot L'(x).
    • Se L(x)=\ln\big(V(x)\big), então L'(x)=\dfrac{V'(x)}{V(x)} (desde que V(x)>0).
  • Aqui:
    • constante k=2,
    • V(x)=1+x^{4} com V'(x)=4x^{3}.
  • Aplicando:
h'(x)=2\cdot\frac{V'(x)}{V(x)}=2\cdot\frac{4x^{3}}{1+x^{4}}=\frac{8x^{3}}{1+x^{4}}.
  • Conclusão para III: a expressão dada em III é exatamente \dfrac{8x^{3}}{1+x^{4}}. Portanto, III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões (sem escolher ainda a letra): I é verdadeira; II é verdadeira; III é verdadeira.

Resposta

(e)

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