Considere as seguintes afirmações:
I. Se
então
.
II. Se
então
.
III. Se
então
.
É CORRETO afirmar que:
(a) As afirmações I e II são verdadeiras e III é falsa.
(b) As afirmações II e III são verdadeiras e I é falsa.
(c) As afirmações I e III são verdadeiras e II é falsa.
(d) As afirmações I, II e III são falsas.
(e) As afirmações I, II e III são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(a) As afirmações I e II são verdadeiras e III é falsa.
(b) As afirmações II e III são verdadeiras e I é falsa.
(c) As afirmações I e III são verdadeiras e II é falsa.
(d) As afirmações I, II e III são falsas.
(e) As afirmações I, II e III são verdadeiras.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
São dadas três afirmações sobre derivadas:
- I. Se
então . - II. Se
então . - III. Se
então .
- I. Se
-
O que é pedido: determinar quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (a), (b), (c), (d) ou (e).
Passo 2
Regra principal que vamos usar — Regra da cadeia (explicada passo a passo).
- Se uma função é composta
, onde é a função interna e a função externa, a derivada é
- Aqui:
-
é a derivada da função externa em termos da variável intermediária . -
é a derivada da função interna em termos de .
-
- Exemplinho rápido (concreto): se
, trata-se de com ; então .
Passo 3
Análise da afirmação I (detalhar cada etapa).
- Dada
. Identificamos: - função externa
, - função interna
.
- função externa
- Derivadas necessárias:
-
(derivada da exponencial), -
.
-
- Aplicando a regra da cadeia:
- Conclusão para I: a expressão dada em I é exatamente
(note que é o mesmo que ). Portanto, I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação II (detalhar cada etapa).
- Dada
. Usaremos que a derivada de é . - Identificamos:
- função externa
, - função interna
.
- função externa
- Derivadas necessárias:
-
, -
.
-
- Aplicando a regra da cadeia:
- Conclusão para II: a expressão dada em II coincide com o resultado, logo II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação III (detalhar cada etapa).
- Dada
. - Duas regras usadas: multiplicação por constante e derivada do logaritmo natural.
- Se
é constante e , então . - Se
, então (desde que ).
- Se
- Aqui:
- constante
, -
com .
- constante
- Aplicando:
- Conclusão para III: a expressão dada em III é exatamente
. Portanto, III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões (sem escolher ainda a letra): I é verdadeira; II é verdadeira; III é verdadeira.
Resposta
(e)