Uma instalação de bombeamento destinada a recalcar 0,124 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água, com altura de elevação (H) de 50,21 \mathrm{mca}, absorve uma potência efetiva de 109 CV , pressupondo-se que face a solução construtiva adotada, o rendimento mecânico é de 95 \%. Desejando-se reconstituir o cálculo do rotor radial da bomba, retirou-se os seguintes dados do mesmo:
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e algura da pá de 18 mm
c. Ângulo construtivo da pá do rotor na saída: 25^{\underline{\circ}}
d. Número de pás: 12
e. Espessura das pás: 8,5 \mathrm{~mm}
Pede-se determinar o valor da rotação de acionamento. Para determinar o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer, considere a inexistência de aletas direcionais.
Resp. n=1608 rpm

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede, separando bem os dados e as perguntas (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Vazão: Q=0{,}124\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Altura de elevação (manométrica): H=50{,}21\\ \mathrm{mca}.
  • Potência absorvida (efetiva): 109\\ \mathrm{CV}.
  • Rendimento mecânico: 95\% (usar depois para checar potência no rotor).
  • Entrada do rotor:
    • diâmetro d_1 = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}200\\ \mathrm{m};
    • altura da pá (espessura radial) b_1 = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}040\\ \mathrm{m}.
  • Saída do rotor:
    • diâmetro d_2 = 400\\ \mathrm{mm} = 0{,}400\\ \mathrm{m};
    • altura da pá b_2 = 18\\ \mathrm{mm} = 0{,}018\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo construtivo da pá na saída: \beta_2 = 25^\circ.
  • Número de pás: z=12.
  • Espessura das pás: e=8{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0085\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a rotação de acionamento n (em rpm), reconstruindo o cálculo do rotor radial.
  • Usar a fórmula empírica de Pfleiderer para obter o coeficiente de escorregamento (slip factor) apropriado, considerando que NÃO há aletas direcionais (logo, sem pré-giro: c_{u1}=0).
Observações instantâneas (sem resolver ainda):
  • Vamos usar a equação de Euler para máquinas rotodinâmicas na forma de cabeça hidráulica: gH = U_2\,c_{u2} - U_1\,c_{u1}.Como não há aletas direcionais, assumimos c_{u1}=0, então gH = U_2 c_{u2}.
  • O componente tangencial da velocidade absoluta na saída c_{u2} é afetado pelo “slip” real do rotor. Pela construção das lâminas, usa-se freqüentemente a expressão c_{u2} = \sigma\bigl(u_2 - c_{m2}\cot\beta_2\bigr),onde \sigma é o coeficiente de Pfleiderer (slip factor), c_{m2} é a componente meridional (radial) da velocidade absoluta na saída e u_2 é a velocidade periférica na pá de saída.
  • Para achar c_{m2} precisamos da área de escoamento na saída. Essa área é afetada pela espessura das pás (as pás ocupam parte do perímetro), então vamos usar a área útil: A_2 = \bigl(\pi d_2 - z e\bigr)\,b_2,e c_{m2} = \dfrac{Q}{A_2}.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada termo de forma bem didática).
  • Equação de Euler (em termos de cabeça):
    gH = U_2\,c_{u2} - U_1\,c_{u1}.
    Aqui:
    • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
    • H é a altura de elevação ( \mathrm{m});
    • U = \omega r = 2\pi n r/60 é a velocidade periférica da pá no raio considerado (em \mathrm{m/s});
    • c_{u} é a componente tangencial (azimutal) da velocidade absoluta do fluido (em \mathrm{m/s}).
      No nosso caso c_{u1}=0 (sem pré-giro).
  • Triângulo de velocidades na saída:
    • A velocidade relativa w_2 forma um ângulo \beta_2 com a tangente. Por trigonometria do triângulo: \tan\beta_2 = \dfrac{c_{m2}}{w_{2u}} \quad\Rightarrow\quad w_{2u} = \dfrac{c_{m2}}{\tan\beta_2}.
    • A componente tangencial absoluta é c_{u2}=u_2 - w_{2u}.
    • Incorporando o escorregamento real (Pfleiderer): c_{u2} = \sigma\left(u_2 - \dfrac{c_{m2}}{\tan\beta_2}\right)=\sigma\bigl(u_2 - c_{m2}\cot\beta_2\bigr).
  • Pfleiderer — coeficiente empírico de “slip”:
    Uma forma muito usada (versão clássica para rotores radiais sem aletas direcionais) é
    \sigma = 1 - \dfrac{0{,}63}{z}\left(1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2\right)\cos\beta_2.
    Explicando:
    • z é o número de pás: quanto mais pás, menor o escorregamento (o fluido “pega” melhor a rotação);
    • o termo \left(1-(d_1/d_2)^2\right) leva em conta a geometria radial;
    • \cos\beta_2 reduz o efeito quando as lâminas estão mais curvadas.
  • Área útil de saída (levando em conta a ocupação do perímetro pelas pás):
    A_2 = \bigl(\pi d_2 - z e\bigr)\,b_2.
    Isso vem da ideia de que o perímetro total \pi d_2 tem uma fração z e “ocupada” pelas lâminas (soma das espessuras), restando \pi d_2 - z e de perímetro livre para o fluido; multiplicando pela altura b_2 obtém-se a área livre de fluxo na saída.

Passo 3

Cálculos intermediários — área útil e velocidade meridional na saída.
  • Primeiro calculemos a área útil na saída: A_2 = \bigl(\pi d_2 - z e\bigr)\,b_2.Substituindo os valores: \pi d_2 = \pi\cdot 0{,}400 = 1{,}25663706\\ \mathrm{m},
z e = 12\cdot 0{,}0085 = 0{,}102\\ \mathrm{m},
\pi d_2 - z e = 1{,}25663706 - 0{,}102 = 1{,}15463706\\ \mathrm{m}.
Então
A_2 = 1{,}15463706\cdot 0{,}018 = 0{,}020783466\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade meridional (radial) na saída: c_{m2} = \dfrac{Q}{A_2} = \dfrac{0{,}124}{0{,}020783466} \approx 5{,}9641\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de Pfleiderer \sigma.
Usando a fórmula de Pfleiderer citada:
\sigma = 1 - \dfrac{0{,}63}{z}\left(1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2\right)\cos\beta_2.
Calculemos termo a termo:
\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{0{,}200}{0{,}400} = 0{,}5,\qquad \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2 = 0{,}25,
1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75,
\cos\beta_2 = \cos 25^\circ \approx 0{,}90630779,
\dfrac{0{,}63}{z} = \dfrac{0{,}63}{12} = 0{,}0525.
Portanto
\sigma = 1 - 0{,}0525\cdot 0{,}75\cdot 0{,}90630779 = 1 - 0{,}035677\approx 0{,}964323.
Explicação curta: \sigma é próximo de 1 porque existem muitas pás (12) e a razão d_1/d_2 não é muito pequena; com \sigma\approx 0{,}964 o escorregamento é pequeno, ou seja, o fluido acompanha bem o movimento tangencial no final do rotor.

Passo 5

Montagem da equação de Euler usando a expressão para c_{u2} com o slip e resolução para u_2.
Relembrando:
c_{u2} = \sigma\bigl(u_2 - c_{m2}\cot\beta_2\bigr).
A equação de Euler (com c_{u1}=0) dá:
gH = U_2\,c_{u2} = u_2\,c_{u2}.
Substituindo c_{u2}:
gH = u_2\cdot\sigma\bigl(u_2 - c_{m2}\cot\beta_2\bigr) = \sigma\bigl(u_2^2 - u_2\,c_{m2}\cot\beta_2\bigr).
Isso é uma equação quadrática em u_2:
\sigma u_2^2 - \sigma(c_{m2}\cot\beta_2)\,u_2 - gH = 0.
Vamos calcular os coeficientes numéricos:
  • Primeiro \cot\beta_2: \cot 25^\circ = \dfrac{1}{\tan 25^\circ} \approx 2{,}14450692.
  • Produto c_{m2}\cot\beta_2: c_{m2}\cot\beta_2 \approx 5{,}9641\cdot 2{,}14450692 \approx 12{,}7899\\ \mathrm{m/s}.
  • gH: gH = 9{,}81\cdot 50{,}21 \approx 492{,}5601\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Coefficients:
a = \sigma \approx 0{,}964323, \qquad b = -\sigma(c_{m2}\cot\beta_2) \approx -0{,}964323\cdot 12{,}7899 \approx -12{,}3337, \qquad c = -gH \approx -492{,}5601.
Resolvendo a quadrática a u_2^2 + b u_2 + c = 0 (tomando a raiz positiva física):
u_2 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^2 - 4 a c \approx (-12{,}3337)^2 - 4\cdot 0{,}964323\cdot(-492{,}5601) \approx 152{,}133 + 1{,}898{,}749 \approx 2{,}050{,}882.
\sqrt{\Delta}\approx 45{,}280.
Logo
u_2 \approx \dfrac{12{,}3337 + 45{,}280}{2\cdot 0{,}964323} = \dfrac{57{,}6137}{1{,}928646} \approx 29{,}88\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Determinação da rotação n (em rpm) a partir de u_2.
Relação entre velocidade periférica u_2 e rotação n:
u_2 = \omega r_2 = 2\pi \dfrac{n}{60}\cdot \dfrac{d_2}{2} = \pi\dfrac{d_2 n}{60}.
Despejando n:
n = \dfrac{60\,u_2}{\pi d_2}.
Substituindo u_2\approx 29{,}88\\ \mathrm{m/s} e d_2=0{,}400\\ \mathrm{m}:
n \approx \dfrac{60\cdot 29{,}88}{\pi\cdot 0{,}400} = \dfrac{1{,}792{,}8}{1{,}25663706} \approx 1{,}427{,}3\\ \mathrm{rpm}.
Portanto, com as hipóteses adotadas (área livre na saída considerou o bloqueio das pás, Pfleiderer na forma clássica, sem pré-giro), obtemos n\approx 1{,}427\\ \mathrm{rpm}.

Passo 7

Verificação rápida usando potencia e rendimento mecânico (checar consistência).
  • Potência hidráulica calculada a partir de Q e H:
    P_{hyd} = \rho g Q H = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}124\cdot 50{,}21 \approx 61{,}066\\ \mathrm{W}\approx 61{,}07\\ \mathrm{kW}.
    Em cavalos-vapor:
    P_{hyd} \approx \dfrac{61{,}066}{735{,}5} \approx 83{,}07\\ \mathrm{CV}.
  • Potência disponível no rotor (a partir da potência absorvida e do rendimento mecânico):
    P_{rotor} = 109\\ \mathrm{CV} \times 0{,}95 = 103{,}55\\ \mathrm{CV}\approx 103{,}55\cdot 735{,}5 \approx 76{,}122\\ \mathrm{W}.
    Logo existe uma diferença P_{rotor}-P_{hyd} \approx 15{,}056\\ \mathrm{W} que corresponde às perdas internas (hidráulicas, atrito etc.). Isso é razoável e mostra coerência entre dados e cálculo de velocidade: a cabeça dada (H) e a vazão implicam aquela u_2 e, consequentemente, aquela velocidade n.

Resposta

n \approx 1427\\ \mathrm{rpm}

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