Uma instalação de bombeamento destinada a recalcar
de água, com altura de elevação (H) de
, absorve uma potência efetiva de 109 CV , pressupondo-se que face a solução construtiva adotada, o rendimento mecânico é de
. Desejando-se reconstituir o cálculo do rotor radial da bomba, retirou-se os seguintes dados do mesmo:
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e algura da pá de 18 mm
c. Ângulo construtivo da pá do rotor na saída:
d. Número de pás: 12
e. Espessura das pás:
Pede-se determinar o valor da rotação de acionamento. Para determinar o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer, considere a inexistência de aletas direcionais.
Resp. n=1608 rpm
a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm
b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e algura da pá de 18 mm
c. Ângulo construtivo da pá do rotor na saída:
d. Número de pás: 12
e. Espessura das pás:
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede, separando bem os dados e as perguntas (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
- Vazão:
. - Altura de elevação (manométrica):
. - Potência absorvida (efetiva):
. - Rendimento mecânico:
(usar depois para checar potência no rotor). - Entrada do rotor:
- diâmetro
; - altura da pá (espessura radial)
.
- diâmetro
- Saída do rotor:
- diâmetro
; - altura da pá
.
- diâmetro
- Ângulo construtivo da pá na saída:
. - Número de pás:
. - Espessura das pás:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a rotação de acionamento
(em rpm), reconstruindo o cálculo do rotor radial. - Usar a fórmula empírica de Pfleiderer para obter o coeficiente de escorregamento (slip factor) apropriado, considerando que NÃO há aletas direcionais (logo, sem pré-giro:
).
Observações instantâneas (sem resolver ainda):
- Vamos usar a equação de Euler para máquinas rotodinâmicas na forma de cabeça hidráulica:
Como não há aletas direcionais, assumimos , então . - O componente tangencial da velocidade absoluta na saída
é afetado pelo “slip” real do rotor. Pela construção das lâminas, usa-se freqüentemente a expressão onde é o coeficiente de Pfleiderer (slip factor), é a componente meridional (radial) da velocidade absoluta na saída e é a velocidade periférica na pá de saída. - Para achar
precisamos da área de escoamento na saída. Essa área é afetada pela espessura das pás (as pás ocupam parte do perímetro), então vamos usar a área útil: e
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada termo de forma bem didática).
-
Equação de Euler (em termos de cabeça):Aqui:
-
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a altura de elevação ( ); -
é a velocidade periférica da pá no raio considerado (em ); -
é a componente tangencial (azimutal) da velocidade absoluta do fluido (em ).
No nosso caso(sem pré-giro).
-
-
Triângulo de velocidades na saída:
- A velocidade relativa
forma um ângulo com a tangente. Por trigonometria do triângulo: - A componente tangencial absoluta é
. - Incorporando o escorregamento real (Pfleiderer):
- A velocidade relativa
-
Pfleiderer — coeficiente empírico de “slip”:
Uma forma muito usada (versão clássica para rotores radiais sem aletas direcionais) éExplicando:-
é o número de pás: quanto mais pás, menor o escorregamento (o fluido “pega” melhor a rotação); - o termo
leva em conta a geometria radial; -
reduz o efeito quando as lâminas estão mais curvadas.
-
-
Área útil de saída (levando em conta a ocupação do perímetro pelas pás):Isso vem da ideia de que o perímetro total
tem uma fração “ocupada” pelas lâminas (soma das espessuras), restando de perímetro livre para o fluido; multiplicando pela altura obtém-se a área livre de fluxo na saída.
Passo 3
Cálculos intermediários — área útil e velocidade meridional na saída.
- Primeiro calculemos a área útil na saída:
Substituindo os valores:
Então
- Velocidade meridional (radial) na saída:
Passo 4
Cálculo do coeficiente de Pfleiderer
.
Usando a fórmula de Pfleiderer citada:
Calculemos termo a termo:
Portanto
Explicação curta:
é próximo de 1 porque existem muitas pás (12) e a razão
não é muito pequena; com
o escorregamento é pequeno, ou seja, o fluido acompanha bem o movimento tangencial no final do rotor.
Passo 5
Montagem da equação de Euler usando a expressão para
com o slip e resolução para
.
Relembrando:
A equação de Euler (com
) dá:
Substituindo
:
Isso é uma equação quadrática em
:
Vamos calcular os coeficientes numéricos:
- Primeiro
: - Produto
: -
:
Coefficients:
Resolvendo a quadrática
(tomando a raiz positiva física):
Calcule o discriminante:
Logo
Passo 6
Determinação da rotação
(em rpm) a partir de
.
Relação entre velocidade periférica
e rotação
:
Despejando
:
Substituindo
e
:
Portanto, com as hipóteses adotadas (área livre na saída considerou o bloqueio das pás, Pfleiderer na forma clássica, sem pré-giro), obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida usando potencia e rendimento mecânico (checar consistência).
-
Potência hidráulica calculada a partir de
e : Em cavalos-vapor: -
Potência disponível no rotor (a partir da potência absorvida e do rendimento mecânico):Logo existe uma diferença
que corresponde às perdas internas (hidráulicas, atrito etc.). Isso é razoável e mostra coerência entre dados e cálculo de velocidade: a cabeça dada e a vazão implicam aquela e, consequentemente, aquela velocidade .