Um eixo está carregado com flexão e torção, de tal forma que Ma=70 Nm, Ta=46 Nm, Mm=57 Nm e Tm =34 Nm. Para o eixo, Su=680 MPa e Sy=545 MPa, e um limite de resistência completamente corrigido de Sn =204 MPa é suposto. Estabeleça Kf=2,2 e Kfs=1,8. Com um fator de segurança de 2,0, determine o diâmetro mínimo aceitável do eixo utilizando o critério ASME-elíptico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de fadiga de eixo com flexão e torção combinadas, usando o critério elíptico da ASME.
O que temos:
• Momentos alternantes de flexão Ma=70 Nm e de torção Ta=46 Nm
• Momentos médios Mm=57 Nm e Tm=34 Nm
• Limite de resistência à fadiga corrigido Sn=204 MPa
• Resistência à tração Su=680 MPa (e Sy=545 MPa, mas aqui só vamos usar Su)
• Fatores de concentração Kf=2,2 (flexão) e Kfs=1,8 (torção)
• Fator de segurança n=2,0
O que vamos precisar:
  1. Fórmulas de tensão de flexão e torção num eixo circular
  2. Cálculo dos componentes alternante e médio
  3. Equivalente de von Mises para alternante e médio
  4. Critério elíptico da ASME:
(sigma'a/Sn)^2+(sigma'm/Su)^2=1/n^2
  1. Isolar o diâmetro d

Passo 2

Definindo geometria e fórmulas básicas:
• Raio c = d/2
• Momento de inércia sigmaa = KfMa,cI, sigmam = KfMm,cI
• Módulo de torção taua = KfsTa,cJ, taum = KfsTm,cJ
Tensões de flexão e torção (alternante “a” e média “m”):
sigmaa=32,Kf,Mapi,d^3, sigmam=32,Kf,Mmpi,d^3
taua=16,Kfs,Tapi,d^3, taum=16,Kfs,Tmpi,d^3
Substituindo , e dá tensões ∝ 1/d³:

Passo 3

Agora calculamos as tensões equivalentes de von Mises alternante e média:
sigma'a=raizsigmaa^2+3,taua^2, sigma'm=raizsigmam^2+3,taum^2
Cada termo é ∝ 1/d³, então .

Passo 4

Aplicando o critério elíptico ASME:
l(sigma'aSnr)^2 ;+;l(sigma'mSur)^2 ;=;1n^2
Substituindo , , em que
A1=(32KfMa/pi)^2+3(16KfsTa/pi)^2, A2=(32KfMm/pi)^2+3(16KfsTm/pi)^2
fica
1d^6l(A1Sn^2+A2Su^2r)=1n^2 ;Longrightarrow; d^6 = n^2l(A1Sn^2+A2Su^2r)
e então
d = gl[n^2l(tfracA1Sn^2+tfracA2Su^2r)gr]^1/6

Passo 5

Vamos aos números (convertendo momentos para N·mm: x1000):
Ma=70 000 N·mm, Ta=46 000, Mm=57 000, Tm=34 000
Kf=2,2, Kfs=1,8, Sn=204 MPa, Su=680 MPa, n=2,0
Calculando:
A₁ ≈ (32·2,2·70 000/π)² + 3·(16·1,8·46 000/π)² ≃ 2,992·10¹²
A₂ ≈ (32·2,2·57 000/π)² + 3·(16·1,8·34 000/π)² ≃ 1,923·10¹²
d^6 = 2^2l(2,992cdot10^12204^2+1,923cdot10^12680^2r) approx 3,04cdot10^8
d=(3,04cdot10^8)^1/6approx25,9 mm

Resposta

O diâmetro mínimo aceitável é de aproximadamente 26 mm.

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