Para o estado plano de deformação dado, use as equações da tansformação do estado para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x’ e y’ que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\epsilon_{x} = 0, \epsilon_{y} = +320 \mu, \gamma_{x y} = -100 \mu, \theta = 30^{\circ} \uparrow

Passo 1

O enunciado dá o estado plano de deformação em eixos x,y:
\epsilon_{x}=0, \epsilon_{y}=320\,\mu, \gamma_{xy}=-100\,\mu,
e pede as componentes \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} em eixos girados de \theta=30^\circ no sentido anti-horário.
Conteúdo: transformação de tensões/deformações em 2D.

Passo 2

As fórmulas de transformação de deformação são
\epsilon_{x'} = \epsilon_x\cos^2\theta + \epsilon_y\sin^2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\epsilon_{y'} = \epsilon_x\sin^2\theta + \epsilon_y\cos^2\theta - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x - \epsilon_y)\,\sin2\theta + \gamma_{xy}\,\cos2\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro
\;2\theta = 60^\circ,
\;\cos2\theta = \cos60^\circ = 0{,}5,
\;\sin2\theta = \sin60^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866.
Definimos também
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} = \frac{0 + 320}{2} = 160\,\mu, \quad \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} = \frac{0 - 320}{2} = -160\,\mu, \quad \frac{\gamma_{xy}}{2} = -50\,\mu.

Passo 4

Usando as fórmulas:
\epsilon_{x'} = 160 + (-160)\cdot0{,}5 + (-50)\cdot0{,}866 = 160 - 80 - 43{,}3 = 36{,}7\,\mu,
\epsilon_{y'} = 160 -(-160)\cdot0{,}5 -(-50)\cdot0{,}866 = 160 + 80 + 43{,}3 = 283{,}3\,\mu.

Passo 5

E para a deformação cortante no novo sistema:
\gamma_{x'y'} = -(-320)\cdot0{,}866 + (-100)\cdot0{,}5 = 277{,}1 - 50 = 227{,}1\,\mu.

Resposta

\epsilon_{x'} \approx 36{,}7\,\mu,\n
\epsilon_{y'} \approx 283{,}3\,\mu,\n
\gamma_{x'y'} \approx 227{,}1\,\mu.

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