Para o estado plano de deformação dado, use as equações da tansformação do estado para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x’ e y’ que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\epsilon_{x} = +240 \mu, \epsilon_{y} = +160 \mu, \gamma_{x y} = +150 \mu, \theta = 60^{\circ} \downarrow

Passo 1

O enunciado fornece um estado plano de deformação em relação aos eixos x,y:
\epsilon_x=+240\,\mu, \epsilon_y=+160\,\mu, \gamma_{xy}=+150\,\mu.
Queremos as componentes de deformação \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} em eixos x',y' girados de \theta=60^\circ no sentido horário (isto é, \theta=-60^\circ na convenção usual de ângulo positivo para giro anti-horário).

Passo 2

As fórmulas de transformação para estado plano de deformação são
\epsilon_{x'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} \;+\;\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta \;+\;\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\epsilon_{y'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} \;-\;\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta \;-\;\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\gamma_{x'y'}=-\,(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin2\theta \;+\;\gamma_{xy}\cos2\theta.

Passo 3

Calculemos as quantidades intermediárias:
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{240+160}{2}=200\,\mu,
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{240-160}{2}=40\,\mu,
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{150}{2}=75\,\mu.

Passo 4

Para \theta=-60^\circ temos
2\theta=-120^\circ,\quad \cos2\theta=\cos(-120^\circ)=-\tfrac12,\quad \sin2\theta=\sin(-120^\circ)=-\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 5

Agora
\epsilon_{x'}=200 + 40\bigl(-\tfrac12\bigr) + 75\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =200 -20 -\frac{75\sqrt3}{2} =180 - 37{,}5\sqrt3\;\mu\approx115{,}0\,\mu.

Passo 6

De modo semelhante,
\epsilon_{y'}=200 - 40\bigl(-\tfrac12\bigr) - 75\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =200 +20 +\frac{75\sqrt3}{2} =220 + 37{,}5\sqrt3\;\mu\approx285{,}0\,\mu.

Passo 7

E a deformação de cisalhamento transformada fica
\gamma_{x'y'}=-\,40\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) +150\bigl(-\tfrac12\bigr) =20\sqrt3 -75\;\mu\approx-40{,}4\,\mu.

Resposta

\displaystyle \epsilon_{x'}\approx115{,}0\,\mu,\quad \epsilon_{y'}\approx285{,}0\,\mu,\quad \gamma_{x'y'}\approx-40{,}4\,\mu.

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