Para o estado plano de deformação dado, use as equações da tansformação do estado para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x’ e y’ que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\epsilon_{x} = -500 \mu, \epsilon_{y} = +250 \mu, \gamma_{x y} = 0, \theta = 15^{\circ} \uparrow

Passo 1

O enunciado nos dá um estado plano de deformação com
\epsilon_{x} = -500\,\mu, \epsilon_{y} = +250\,\mu, \gamma_{xy} = 0
e pede os componentes \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} no sistema de eixos girado de \theta = 15^\circ.
O conteúdo necessário são as fórmulas de transformação de tensões para o estado plano de deformação.

Passo 2

As equações de transformação são:
\epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2} \;+\;\frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2}\cos2\theta \;+\;\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\epsilon_{y'} = \frac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2} \;-\;\frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2}\cos2\theta \;-\;\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\gamma_{x'y'} = -\bigl(\epsilon_{x}-\epsilon_{y}\bigr)\sin2\theta \;+\;\gamma_{xy}\cos2\theta

Passo 3

Calculemos primeiro os termos médios e de diferença, e os valores de \cos2\theta e \sin2\theta:
\frac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2} = \frac{-500 + 250}{2} = -125\,\mu, \quad \frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2} = \frac{-500 - 250}{2} = -375\,\mu
\cos2\theta = \cos30^\circ = 0{,}8660, \quad \sin2\theta = \sin30^\circ = 0{,}5

Passo 4

Substituindo em \epsilon_{x'} e \epsilon_{y'}:
\epsilon_{x'} = -125 + (-375)(0{,}8660) + \frac{0}{2}(0{,}5) = -125 - 324{,}8 = -449{,}8\,\mu
\epsilon_{y'} = -125 - (-375)(0{,}8660) - \frac{0}{2}(0{,}5) = -125 + 324{,}8 = +199{,}8\,\mu

Passo 5

Substituindo em \gamma_{x'y'}:
\gamma_{x'y'} = -(-750)(0{,}5) + 0\cdot0{,}8660 = +375\,\mu

Resposta

\displaystyle \epsilon_{x'} \approx -449{,}8\,\mu
\displaystyle \epsilon_{y'} \approx +199{,}8\,\mu
\displaystyle \gamma_{x'y'} \approx +375\,\mu

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