Let f=z y+y x, v=[y, z, 4 z-x], w=[y^2, z^2, x^2].
Find Dw f at (1,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A função é
f(x,y,z)=zy + yx,
e nos dão dois vetores (mas, na verdade, só vamos usar o w):
w=(y^2,;z^2,;x^2)
O objetivo é calcular a derivada direcional de na direção de , avaliada no ponto .
Conteúdo: derivada direcional e gradiente. Para resolver, vamos precisar
  1. conhecer o gradiente de ,
  2. avaliar esse gradiente no ponto dado,
  3. avaliar nesse mesmo ponto,
  4. fazer o produto escalar entre gradiente e .

Passo 2

Primeiro, a teoria: a derivada direcional de D wf = nabla f;cdot; w na direção de um vetor nabla f = l(partialx f,;partialy f,;partialz fr) (não necessariamente unitário) é

Aqui é o vetor das derivadas parciais:

Passo 3

Vamos achar cada parcial de nabla f(x,y,z) = l(y,;z+x,;yr):

  1. Logo,

Passo 4

Agora avaliamos nabla f(1,2,0) = (2,;1,;2) em :

  • Então

Passo 5

A gente precisa também de w(1,2,0) = (4,;0,;1). Lembrando , no ponto temos:

  • Logo

Passo 6

Pra finalizar, fazemos o produto escalar:
D wf(1,2,0) ;=;nabla f(1,2,0)cdot w(1,2,0) =(2,1,2)cdot(4,0,1) =2cdot4 ;+;1cdot0 ;+;2cdot1 =8 + 0 + 2 =10

Resposta

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