Let f=z y+y x, v=[y, z, 4 z-x], w=[y^2, z^2, x^2].
Find grad f and f grad f at (3,4,0)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
f(x,y,z) = z,y ;+; y,x
e pede para a gente achar o gradiente de (isto é, o vetor com as derivadas parciais) e depois calcular o produto no ponto .
Conteúdo da matéria: derivadas parciais e gradiente de uma função de três variáveis.
O que vamos precisar:
  1. Saber que .
  2. Calcular cada derivada parcial de .
  3. Avaliar essas derivadas no ponto dado e também avaliar .
  4. Multiplicar o escalar pelo vetor .

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de partial fpartial x = y :
  • partial fpartial y = z + x : trato partial fpartial z = y como constantes, fica nabla f(x,y,z) = l(y,;z+x,;yr)
  • : trato como constantes, tenho porque a derivada de em relação a é e a de é .
  • : trato como constantes, fica
Portanto

Passo 3

Agora avaliamos no ponto nabla f(3,4,0) = l(4,;0+3,;4r) = (4,,3,,4) , ou seja, f(3,4,0) = (0)cdot 4 + 4cdot 3 = 0 + 12 = 12 , , :
Também precisamos de :

Passo 4

Por fim, f(3,4,0),nabla f(3,4,0) = 12 times (4,3,4) = (48,,36,,48) no ponto é só multiplicar o escalar pelo vetor :

Resposta

Gradiente em nabla f(3,4,0) = (4,,3,,4) :
f(3,4,0),nabla f(3,4,0) = (48,,36,,48)
Produto em :

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