Uma linha de transmissão sem perdas de opera em uma frequência de 600 MHz . Os parâmetros de linha são \mathrm{L}=0,25 \mathrm{uH} e \mathrm{C}=100 \mathrm{pF}.
Calcule a impedância característica ( \boldsymbol{Z}_{\boldsymbol{0}} ), a velocidade de propagação ( \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{p}} ), e a constante de desfasamento ( \beta ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • frequência: f=600\\ \mathrm{MHz}.
    • indutância por unidade de comprimento: L=0{,}25\\ \mu\mathrm{H}.
    • capacitância por unidade de comprimento: C=100\\ \mathrm{pF}.
    Observação: convertendo para unidades do SI:
    L=0{,}25\\ \mu\mathrm{H}=0{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{H}, \qquad C=100\\ \mathrm{pF}=100\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
  • O enunciado pede:
    1. a impedância característica \,Z_0\;,
    2. a velocidade de propagação \,v_p\;,
    3. a constante de desfasamento \,\beta\;.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Linha de transmissão sem perdas: os parâmetros resistivo e condutivo são nulos, e valem as fórmulas clássicas:
    Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}},
    onde Z_0 é a impedância característica (em ohms), L é a indutância por metro (em henry por metro) e C é a capacitância por metro (em farad por metro). A raiz aparece porque a impedância característica resulta do balanço entre armazenamento magnético ( L) e elétrico ( C).
  • Velocidade de propagação:
    v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
    Aqui v_p tem unidades de metros por segundo; é a velocidade com que as ondas viajam na linha.
  • Constante de desfasamento:
    \beta=\frac{\omega}{v_p}, \qquad \omega=2\pi f.
    Alternativamente, usando v_p=1/\sqrt{LC},
    \beta=\omega\sqrt{LC}.
    A unidade de \beta é radiano por metro; indica quantos radianos a fase varia por metro.

Passo 3

Converter os valores numéricos para forma prática e calcular Z_0.
  • Converter L e C em notação científica: L=0{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{H}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{H}\quad(\text{ou manter }0{,}25\times10^{-6})
C=100\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=1{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
(Para clareza neste cálculo usarei L=0{,}25\times10^{-6} e C=100\times10^{-12}.)
  • Calcular a razão L/C:
    \frac{L}{C}=\frac{0{,}25\times10^{-6}}{100\times10^{-12}}.
    Simplificando potências de 10:
    \frac{0{,}25\times10^{-6}}{100\times10^{-12}} =\frac{0{,}25}{100}\times10^{-6-(-12)} =0{,}0025\times10^{6} =0{,}0025\times10^{6}=2500.
    (Outra forma: 0{,}25\times10^{-6}=2{,}5\times10^{-7} e 100\times10^{-12}=1{,}0\times10^{-10}, então 2{,}5\times10^{-7}/1{,}0\times10^{-10}=2{,}5\times10^{3}=2500.)
  • Agora a impedância característica:
    Z_0=\sqrt{2500}=50\\ \Omega.
    Explicação prática: é uma linha com Z_0 típica de 50\\ \Omega, valor comum em RF.

Passo 4

Calcular a velocidade de propagação v_p.
  • Primeiro compute LC:
    LC=(0{,}25\times10^{-6})\cdot(100\times10^{-12}) =0{,}25\cdot100\times10^{-6-12} =25\times10^{-18} =2{,}5\times10^{-17}.
  • Agora a raiz quadrada:
    \sqrt{LC}=\sqrt{2{,}5\times10^{-17}}\approx5\times10^{-9}\\ \text{s}.
    (Aqui o resultado tem dimensão de tempo dividido por distância? Na verdade \sqrt{LC} tem dimensão de tempo por metro, mas quando L e C são por unidade de comprimento, \sqrt{LC} tem dimensão de s/m e seu inverso é m/s. Para nossos valores numéricos o resultado é aproximadamente 5\times10^{-9}.)
  • Então
    v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}\approx\frac{1}{5\times10^{-9}}=2{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Observação: isso é cerca de 0{,}667 vezes a velocidade da luz no vácuo ( c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).

Passo 5

Calcular a constante de desfasamento \beta.
  • Primeiro a pulsação:
    \omega=2\pi f=2\pi\cdot600\times10^{6}=1200\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}\approx3{,}7699\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Usando \beta=\omega\sqrt{LC} (forma direta e rápida):
    \beta=\omega\sqrt{LC}\approx(2\pi\cdot600\times10^{6})\cdot(5\times10^{-9}).
    Calcular passo a passo:
    600\times10^{6}\cdot5\times10^{-9}=600\cdot5\times10^{-3}=3000\times10^{-3}=3,
    então
    \beta\approx2\pi\cdot3=6\pi\\ \mathrm{rad/m}.
  • Valor numérico aproximado:
    \beta\approx6\pi\approx18{,}8496\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (dica de prova):
  • Z_0=\sqrt{L/C} dá um número simples quando L e C são escolhidos com relação prática; aqui saiu exatamente 50\\ \Omega.
  • v_p=1/\sqrt{LC} dá a velocidade independente da frequência para linha sem perdas.
  • \beta=\omega\sqrt{LC} cresce linearmente com a frequência; para uma frequência dada calcula-se como fizemos.
Força: esses passos são exatamente o que costumam pedir em prova — mostrar conversão de unidades, aplicar fórmulas e calcular numericamente passo a passo.

Resposta

Z_0=50\\ \Omega
v_p=2{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
\beta=6\pi\\ \mathrm{rad/m}\\ \approx18{,}8496\\ \mathrm{rad/m}

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