Encontre os fasores equivalentes das expressões abaixo
i(\mathrm{t})=380 \cdot \cos \left(\omega \cdot t-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a corrente no domínio do tempo
i(t)=380\cdot\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)
e pede os fasores equivalentes dessa expressão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude (valor de pico) da senóide: 380 (unidade: ampères).
  • Fase da senóide: -\dfrac{\pi}{4} rad (ou -45^\circ).
  • A função é uma cosseno com frequência angular \omega — o fasor vai representar a amplitude complexa associada a essa frequência.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e simples).
  • Um fasor é a representação complexa da amplitude e da fase de uma senoide em regime permanente senoidal. Ele elimina a dependência explícita do tempo e deixa só a amplitude complexa.
  • Convenção usada aqui (a mais comum): associar a corrente ao fasor complexo \tilde{I} pela relação
i(t)=\Re\{\tilde{I}\,e^{j\omega t}\},
onde j é a unidade imaginária e \Re\{\cdot\} significa “parte real”. Nesse caso \tilde{I} é a amplitude complexa (também chamada de fasor de amplitude de pico).
  • Outra convenção muito usada em circuitos é trabalhar com fasores em valor eficaz (RMS). A relação entre os dois é simples: o fasor em RMS é o fasor de pico dividido por \sqrt{2}.

Passo 3

Identificar a forma polar que já aparece no tempo. A cosseno tem fase -\dfrac{\pi}{4}. Em notação polar, o fasor de pico correspondente é simplesmente a amplitude de pico com essa fase:
\tilde{I}=380\angle\left(-\frac{\pi}{4}\right)\\ \text{A}.
Observação: -\dfrac{\pi}{4} rad equivale a -45^\circ.

Passo 4

Converter o fasor de pico para a forma retangular (passo-a-passo numérico). Usamos as identidades trigonométricas \cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
\tilde{I}=380\left[\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+j\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] =380\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-j\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fatorando \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} obtemos
\tilde{I}=\frac{380}{\sqrt{2}}(1-j).
Calculemos numericamente \frac{380}{\sqrt{2}}: \dfrac{380}{\sqrt{2}}\approx 268,91. Portanto a forma retangular (componentes real e imaginária) é
\tilde{I}\approx 268,91 - j\,268,91\\ \text{A}.

Passo 5

Obter o fasor em valor eficaz (RMS), que é frequentemente o que se usa em análise de circuitos. Basta dividir o módulo do fasor de pico por \sqrt{2}. Assim:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{380}{\sqrt{2}}\angle\left(-\frac{\pi}{4}\right)\\ \text{A}.
Já calculamos \dfrac{380}{\sqrt{2}}\approx 268,91, então em polar:
I_{\mathrm{rms}}\approx 268,91\angle\left(-\frac{\pi}{4}\right)\\ \text{A}.
Converter para retangular: \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} dá as componentes
\Re\{I_{\mathrm{rms}}\}=268,91\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=190,\qquad \Im\{I_{\mathrm{rms}}\}=-190.
Portanto
I_{\mathrm{rms}}=190 - j\,190\\ \text{A}.

Passo 6

Checagem rápida (reconstrução do sinal no tempo). Se pegar o fasor de pico \tilde{I}=380\angle(-\pi/4) e calcular \Re\{\tilde{I}e^{j\omega t}\}, obtém-se exatamente 380\cos(\omega t-\pi/4), confirmando que a correspondência está correta. Se usar o fasor RMS I_{\mathrm{rms}}, a relação para recuperar i(t) é
i(t)=\sqrt{2}\,\Re\{I_{\mathrm{rms}}\,e^{j\omega t}\},
porque o fasor RMS foi obtido dividindo o pico por \sqrt{2}.

Resposta

\tilde{I}=380\angle\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{A} = 268,91 - j\,268,91\\ \text{A}
I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{380}{\sqrt{2}}\angle\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{A}\approx 268,91\angle\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{A} = 190 - j\,190\\ \text{A}

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