Sendo conhecida a expressão do campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio com impedância intrínseca \boldsymbol{\eta}=\mathbf{1 5}, \mathbf{4} \angle \mathbf{1 9}^{\circ} \Omega
E_{x}(t, z)=100 e^{-0,5 z} \cdot \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4} z\right)
Determine a expressão do campo magnético da referida onda:

Passo 1

O enunciado dá a expressão do campo elétrico e a impedância intrínseca do meio. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que se pede.
  • Campo elétrico (peguei isto do enunciado):
E_{x}(t,z)=100\,e^{-0,5 z}\cdot\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{4}z\right)
  • Impedância intrínseca (peguei isto do enunciado): \eta=15{,}4\angle 19^\circ\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a expressão do campo magnético da mesma onda (ou seja, \mathbf{H}(t,z)), indicando direção, amplitude dependente de z, fase e unidades.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a parte teórica mastigada).
  • Para uma onda plana eletromagnética harmônica que se propaga na direção +z, existe uma relação simples entre os fasores do campo elétrico e do campo magnético dada pela impedância intrínseca do meio. Em notação de fasor:
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{\hat{k}\times\tilde{\mathbf{E}}}{\eta},
onde \hat{k} é o versor da direção de propagação. Aqui \eta é a impedância intrínseca complexa do meio (unidade: \Omega).
  • Interpretação prática e sinal: a direção de \mathbf{H} deve ser tal que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponte para a direção de propagação ( +z). Se \mathbf{E} está ao longo de \hat{x} e a onda vai para +\hat{z}, então \mathbf{H} deve estar ao longo de \hat{y} positivo, porque \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}.
  • Em termos escalares de fasor (para componentes):
\tilde{H}_y(z)=\frac{\tilde{E}_x(z)}{\eta}.
Depois de obter o fasor \tilde{H}_y(z) convertemos de volta ao domínio do tempo por:
H_y(t,z)=\Re\{\tilde{H}_y(z)e^{j\omega t}\}=|\tilde{H}_y(z)|\cos\!\big(\omega t+\arg(\tilde{H}_y(z))\big).

Passo 3

Passagem para fasores (explicando passo a passo o que é cada coisa).
  • A forma temporal dada é \cos(\omega t-\beta z) multiplicada por uma atenuação exponencial e^{-\alpha z}. Aqui:
    • amplitude inicial: 100 (unidade: V/m),
    • atenuação espacial: \alpha=0{,}5 (em unidades recíprocas de z),
    • constante de fase espacial: \beta=\dfrac{\pi}{4} (rad por unidade de z).
  • O fasor correspondente (dependente de z) é
\tilde{E}_x(z)=100\,e^{-0,5 z}\angle\!\left(-\frac{\pi}{4}z\right),
o que significa numericamente \tilde{E}_x(z)=100\,e^{-0,5 z}\,e^{-j\frac{\pi}{4}z}. Aqui o módulo é 100\,e^{-0,5 z} e a fase é -\dfrac{\pi}{4}z.

Passo 4

Cálculo do fasor do campo magnético dividindo pelo impedância (mostrando contas).
  • Aplicando \tilde{H}_y(z)=\dfrac{\tilde{E}_x(z)}{\eta} temos, em forma de magnitude e fase:
\tilde{H}_y(z)=\frac{100\,e^{-0,5 z}\angle\left(-\frac{\pi}{4}z\right)}{15{,}4\angle 19^\circ}.
  • Divisão de fasores: divide-se as magnitudes e subtrai-se as fases:
    • magnitude: \dfrac{100}{15{,}4}=6{,}493506\ldots\approx 6{,}49,
    • fase: -\dfrac{\pi}{4}z - 19^\circ. (Nota: a fase do termo dependente de z está em radianos; o ângulo da impedância está em graus. Para uso numérico puro, converte-se 19^\circ em radianos como 19^\circ=\dfrac{19\pi}{180}\approx0{,}3316 rad. Podemos, por clareza, manter a indicação em graus dentro da representação angulada.)
  • Assim:
\tilde{H}_y(z)=6{,}4935\,e^{-0,5 z}\angle\!\left(-\frac{\pi}{4}z-19^\circ\right).

Passo 5

Volta ao domínio do tempo e escrevendo o vetor campo magnético completo.
  • Converter o fasor em função temporal usando a regra H_y(t,z)=|\tilde{H}_y(z)|\cos\!\big(\omega t+\arg(\tilde{H}_y(z))\big). Substituindo:
H_y(t,z)=6{,}4935\,e^{-0,5 z}\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{4}z-19^\circ\right)\\ \text{A/m}.
  • Finalmente, colocando a direção (vetor):
\mathbf{H}(t,z)=\hat{y}\;6{,}4935\,e^{-0,5 z}\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{4}z-19^\circ\right)\\ \text{A/m}.
  • Observações didáticas rápidas:
    • O fator e^{-0,5 z} veio direto do campo elétrico (atenução espacial \alpha).
    • A diminuição da amplitude é pela divisão por |\eta|.
    • A fase adicional de -19^\circ vem da fase da impedância: ao dividir, subtrai-se a fase de \eta.
    • A direção \hat{y} foi escolhida para garantir que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponte para +\hat{z} (sentido de propagação).

Resposta

\mathbf{H}(t,z)=\hat{y}\;6{,}4935\,e^{-0,5 z}\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{4}z-19^\circ\right)\\ \text{A/m}

Exercícios relacionados