1. Partindo dos índices físicos do solo, demonstre que o valor da densidade relativa dos grãos multiplicado pela umidade do solo é igual ao grau de saturação deste solo multiplicado pelo índice de vazios

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
G_s\,w = S_r\,e
onde usamos os índices físicos do solo:
\displaystyle w=\frac{M_w}{M_s}, \displaystyle G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}, \displaystyle e=\frac{V_v}{V_s} e \displaystyle S_r=\frac{V_w}{V_v}.

Passo 2

Partimos de
\displaystyle w=\frac{M_w}{M_s}.
Como M_w=\rho_w\,V_w e M_s=\rho_s\,V_s, segue
w = \frac{\rho_w\,V_w}{\rho_s\,V_s} = \frac{1}{G_s}\,\frac{V_w}{V_s}.
Multiplicando ambos os lados por G_s, obtemos
G_s\,w = \frac{V_w}{V_s}.

Passo 3

Agora usamos
\displaystyle S_r=\frac{V_w}{V_v} e \displaystyle e=\frac{V_v}{V_s}.
Logo
S_r\,e = \frac{V_w}{V_v}\,\frac{V_v}{V_s} = \frac{V_w}{V_s}.

Passo 4

Como G_s\,w e S_r\,e resultam ambos em V_w/V_s, concluímos
G_s\,w = S_r\,e.

Resposta

G_s\,w = S_r\,e

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