A partir dos dados do fabricante de uma bomba centrifuga, determinar o ponto de operação da bomba.
0,0
27,8
26,6
119,5
26,6
28,4
239,0
25,3
32,5
358,6
23,2
37,4
478,1
20,3
43,6
597,6
16,6
53,5
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| 0,0 | 27,8 | 26,6 |
| 119,5 | 26,6 | 28,4 |
| 239,0 | 25,3 | 32,5 |
| 358,6 | 23,2 | 37,4 |
| 478,1 | 20,3 | 43,6 |
| 597,6 | 16,6 | 53,5 |
Passo 1
O enunciado me dá uma tabela com os dados do fabricante da bomba (vazão
, altura manométrica entregue
e potência
) nos pontos:
-
(em ): -
-
(em m): -
-
Potência
(em kW): -
O que o enunciado pede (implícito): determinar o ponto de operação da bomba.
Importante: para encontrar numericamente o ponto de operação de uma bomba centrífuga é preciso conhecer também a curva do sistema hidráulico (a curva que relaciona a perda de carga/altitude necessária do sistema com a vazão). Sem essa curva do sistema só com a curva da bomba não dá para achar uma vazão de equilíbrio numérica. Vou, porém, fazer o que dá ser feito com os dados do fabricante e explicar passo a passo como proceder quando a curva do sistema for conhecida.
Importante: para encontrar numericamente o ponto de operação de uma bomba centrífuga é preciso conhecer também a curva do sistema hidráulico (a curva que relaciona a perda de carga/altitude necessária do sistema com a vazão). Sem essa curva do sistema só com a curva da bomba não dá para achar uma vazão de equilíbrio numérica. Vou, porém, fazer o que dá ser feito com os dados do fabricante e explicar passo a passo como proceder quando a curva do sistema for conhecida.
Passo 2
O que vamos fazer primeiro (e por que): obter uma expressão matemática para a curva da bomba
a partir dos dados do fabricante. Normalmente a curva de altura de uma bomba é aproximada por um polinômio de baixa ordem (polinômio quadrático é muito usado porque a variação é suave e decrescente). Vou ajustar uma parábola
onde
está em
e
em m. Explico o porquê de cada coeficiente:
-
multiplica : representa a curvatura (quanto mais negativo, mais acentuada a queda com ); -
é o coeficiente linear em ; -
é o valor de em se o ajuste passar por esse ponto.
Escolhi ajustar passando exatamente por três pontos (método de interpolação por parábola) para obter uma fórmula simples e perfeitamente consistente com três pontos da tabela. Usei os pontos
,
e
. A escolha de incluir
é prática porque simplifica a determinação de
.
Passo prático (cálculo):
- De
obtemos imediatamente porque . - Para
: que dá - Para
: que dá
Agora resolvemos esse sistema de duas equações para
e
. Eliminando
(multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
e subtraindo), obtemos
logo
Substituindo em uma das equações,
logo
Portanto a curva da bomba (parábola interpolada pelos três pontos escolhidos) é
com
em
e
em m.
Observação didática rápida: eu escolhi três pontos e obtive uma parábola que passa exatamente por esses três. Outra forma (mais rigorosa estatística) seria fazer um ajuste por mínimos quadrados com todos os seis pontos; o procedimento seria análogo, só que resolveríamos um sistema 3×3 com somas de potências de
. Para uso prático em prova, essa técnica de interpolação por 3 pontos bem escolhidos é aceitável e mais rápida manualmente.
Passo 3
Explicar o que é o ponto de operação e o que falta: o ponto de operação é a vazão
tal que a altura fornecida pela bomba iguala a altura exigida pelo sistema hidráulico (ou seja, a curva da bomba intercepta a curva do sistema). A curva do sistema normalmente tem a forma
onde:
-
é a diferença de nível fixa (em m) que o sistema exige (se houver); -
é um coeficiente que representa as perdas por atrito do conjunto de tubulações e acessórios expressas na mesma unidade (m por se estiver em ). As perdas variam com o quadrado da vazão (régime turbulento), por isso o termo .
Para achar
devemos resolver a equação
Substituindo as expressões:
Rearranjando:
Isto é uma equação quadrática em
. A solução é
Como escolher a raiz física:
- Deve-se tomar apenas raízes reais e positivas.
- Além disso, escolher a raiz que fique no intervalo físico plausível (por exemplo entre
e a vazão nominal máxima do fabricante, aqui ou mais, conforme dados). - Se
a equação vira linear e a raiz é .
Portanto, para determinar numericamente
é necessário saber
e
. Sem esses valores não se pode obter um número para
.
Passo 4
Como obter
na prática (aulas práticas para a prova):
- Se você conhece um ponto da curva do sistema (por exemplo mediu que a perda total no sistema é
quando ), então - Se tem apenas a curva de perda dos tubos em termos de velocidade, converta para vazão e calcule as perdas em função de
; depois represente como (explicito nas respostas de prova que depende de unidade — atenção às unidades).
Passo 5
Como obter a potência absorvida pela bomba no ponto de operação:
- A tabela do fabricante já dá
(potência) em vários . Para calcular a potência no ponto de operação pode‑se: - Fazer uma interpolação simples entre os pontos fornecidos (linear entre os pontos adjacentes).
- Ou ajustar um polinômio (como eu fiz para a curva
) e avaliar o polinômio em .
Para que você veja um exemplo prático de ajuste para
(feito exatamente como para
), ajustei uma parábola pelos três pontos
,
e
. O resultado aproximado é
com
em kW e
em
. Assim, se você obtiver
substitui nessa fórmula para achar a potência absorvida naquele ponto.
Passo 6
- Eu já converti os dados do fabricante em fórmulas práticas que você pode usar na prova: a curva da bomba
e a curva de potência aproximadas por parábolas (veja acima). - Para achar o ponto de operação numérico, traga os valores do sistema:
e (ou uma curva ). Aí basta igualar e e resolver a quadrática, escolhendo a raiz positiva e fisicamente plausível. - Vai dar certo — você já tem a curva da bomba pronta; quando tiver a curva do sistema eu te mostro passo a passo a resolução da quadrática e como decidir qual raiz tomar e como calcular a potência e a eficiência se precisar. Força, você chega lá!
Resposta
Não é possível determinar numericamente o ponto de operação (