A partir dos dados do fabricante de uma bomba centrifuga, determinar o ponto de operação da bomba.
\mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) \mathrm{H}_{\mathrm{e}}(\mathrm{m}) \mathrm{N}(\mathrm{kW})
0,0 27,8 26,6
119,5 26,6 28,4
239,0 25,3 32,5
358,6 23,2 37,4
478,1 20,3 43,6
597,6 16,6 53,5

Passo 1

O enunciado me dá uma tabela com os dados do fabricante da bomba (vazão Q, altura manométrica entregue \mathrm{H}_{e} e potência N) nos pontos:
  • Q (em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}):
    • Q_1 = 0,0
    • Q_2 = 119,5
    • Q_3 = 239,0
    • Q_4 = 358,6
    • Q_5 = 478,1
    • Q_6 = 597,6
  • \mathrm{H}_{e} (em m):
    • \mathrm{H}_{e1}=27,8
    • \mathrm{H}_{e2}=26,6
    • \mathrm{H}_{e3}=25,3
    • \mathrm{H}_{e4}=23,2
    • \mathrm{H}_{e5}=20,3
    • \mathrm{H}_{e6}=16,6
  • Potência N (em kW):
    • N_1=26,6
    • N_2=28,4
    • N_3=32,5
    • N_4=37,4
    • N_5=43,6
    • N_6=53,5
O que o enunciado pede (implícito): determinar o ponto de operação da bomba.
Importante: para encontrar numericamente o ponto de operação de uma bomba centrífuga é preciso conhecer também a curva do sistema hidráulico (a curva que relaciona a perda de carga/altitude necessária do sistema com a vazão). Sem essa curva do sistema só com a curva da bomba não dá para achar uma vazão de equilíbrio numérica. Vou, porém, fazer o que dá ser feito com os dados do fabricante e explicar passo a passo como proceder quando a curva do sistema for conhecida.

Passo 2

O que vamos fazer primeiro (e por que): obter uma expressão matemática para a curva da bomba \mathrm{H}_{e}(Q) a partir dos dados do fabricante. Normalmente a curva de altura de uma bomba é aproximada por um polinômio de baixa ordem (polinômio quadrático é muito usado porque a variação é suave e decrescente). Vou ajustar uma parábola
\mathrm{H}_{e}(Q)=A Q^{2}+B Q+C,
onde Q está em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} e \mathrm{H}_{e} em m. Explico o porquê de cada coeficiente:
  • A multiplica Q^{2}: representa a curvatura (quanto mais negativo, mais acentuada a queda com Q);
  • B é o coeficiente linear em Q;
  • C é o valor de \mathrm{H}_{e} em Q=0 se o ajuste passar por esse ponto.
Escolhi ajustar passando exatamente por três pontos (método de interpolação por parábola) para obter uma fórmula simples e perfeitamente consistente com três pontos da tabela. Usei os pontos (Q_1,\mathrm{H}_{e1})=(0,27{,}8), (Q_3,\mathrm{H}_{e3})=(239,25{,}3) e (Q_6,\mathrm{H}_{e6})=(597{,}6,16{,}6). A escolha de incluir Q=0 é prática porque simplifica a determinação de C.
Passo prático (cálculo):
  • De Q=0 obtemos imediatamente C=27{,}8 porque \mathrm{H}_{e}(0)=C.
  • Para Q=239{,}0: A\cdot 239^{2} + B\cdot 239 + 27{,}8 = 25{,}3que dá 57\,121\,A + 239\,B = -2{,}5.
  • Para Q=597{,}6: A\cdot (597{,}6)^{2} + B\cdot 597{,}6 + 27{,}8 = 16{,}6que dá 357\,125{,}76\,A + 597{,}6\,B = -11{,}2.
Agora resolvemos esse sistema de duas equações para A e B. Eliminando B (multiplicando a primeira equação por 597{,}6 e a segunda por 239 e subtraindo), obtemos
51\,217\,547{,}04\,A = -1\,182{,}8,
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A \approx -2{,}3097\times 10^{-5}.
Substituindo em uma das equações,
239\,B = -2{,}5 - 57\,121\,A \approx -2{,}5 -(-1{,}3193) = -1{,}1807,
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B \approx -4{,}941\times10^{-3}.
Portanto a curva da bomba (parábola interpolada pelos três pontos escolhidos) é
\boxed{\mathrm{H}_{e}(Q)\approx -2{,}3097\times10^{-5}\;Q^{2}\;-\;4{,}941\times10^{-3}\;Q\;+\;27{,}8,}
com Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} e \mathrm{H}_{e} em m.
Observação didática rápida: eu escolhi três pontos e obtive uma parábola que passa exatamente por esses três. Outra forma (mais rigorosa estatística) seria fazer um ajuste por mínimos quadrados com todos os seis pontos; o procedimento seria análogo, só que resolveríamos um sistema 3×3 com somas de potências de Q. Para uso prático em prova, essa técnica de interpolação por 3 pontos bem escolhidos é aceitável e mais rápida manualmente.

Passo 3

Explicar o que é o ponto de operação e o que falta: o ponto de operação é a vazão Q_{\text{op}} tal que a altura fornecida pela bomba iguala a altura exigida pelo sistema hidráulico (ou seja, a curva da bomba intercepta a curva do sistema). A curva do sistema normalmente tem a forma
\mathrm{H}_{\text{sys}}(Q)=\mathrm{H}_{\text{estática}} + k\,Q^{2},á
onde:
  • \mathrm{H}_{\text{estática}}á é a diferença de nível fixa (em m) que o sistema exige (se houver);
  • k é um coeficiente que representa as perdas por atrito do conjunto de tubulações e acessórios expressas na mesma unidade (m por (\mathrm{m}^{3}/\mathrm{h})^{2} se Q estiver em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}). As perdas variam com o quadrado da vazão (régime turbulento), por isso o termo k Q^{2}.
Para achar Q_{\text{op}} devemos resolver a equação
\mathrm{H}_{e}(Q)=\mathrm{H}_{\text{sys}}(Q).
Substituindo as expressões:
A Q^{2}+B Q + C = \mathrm{H}_{\text{estática}} + k Q^{2}.á
Rearranjando:
(A - k)\,Q^{2} + B\,Q + (C - \mathrm{H}_{\text{estática}}) = 0.á
Isto é uma equação quadrática em Q. A solução é
Q = \frac{-B \pm \sqrt{B^{2} - 4(A-k)(C-\mathrm{H}_{\text{estática}})}}{2(A-k)}.á
Como escolher a raiz física:
  • Deve-se tomar apenas raízes reais e positivas.
  • Além disso, escolher a raiz que fique no intervalo físico plausível (por exemplo entre 0 e a vazão nominal máxima do fabricante, aqui 597{,}6\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} ou mais, conforme dados).
  • Se A-k=0 a equação vira linear e a raiz é - (C-\mathrm{H}_{\text{estática}})/Bá.
Portanto, para determinar numericamente Q_{\text{op}} é necessário saber \mathrm{H}_{\text{estática}}á e k. Sem esses valores não se pode obter um número para Q_{\text{op}}.

Passo 4

Como obter k na prática (aulas práticas para a prova):
  • Se você conhece um ponto da curva do sistema (por exemplo mediu que a perda total no sistema é \mathrm{H}_{\text{perda}}=H_{p} quando Q=Q_{p}), então k = \frac{\mathrm{H}_{p}-\mathrm{H}_{\text{estática}}}{Q_{p}^{2}}.á
  • Se tem apenas a curva de perda dos tubos em termos de velocidade, converta para vazão e calcule as perdas em função de Q; depois represente como k Q^{2} (explicito nas respostas de prova que k depende de unidade — atenção às unidades).

Passo 5

Como obter a potência absorvida pela bomba no ponto de operação:
  • A tabela do fabricante já dá N (potência) em vários Q. Para calcular a potência no ponto de operação N(Q_{\text{op}}) pode‑se:
    • Fazer uma interpolação simples entre os pontos fornecidos (linear entre os pontos adjacentes).
    • Ou ajustar um polinômio (como eu fiz para a curva H) e avaliar o polinômio em Q_{\text{op}}.
Para que você veja um exemplo prático de ajuste para N(Q) (feito exatamente como para \mathrm{H}), ajustei uma parábola pelos três pontos (0,26{,}6), (239,32{,}5) e (597{,}6,53{,}5). O resultado aproximado é
\boxed{N(Q)\approx 5{,}668\times10^{-5}\;Q^{2} + 1{,}115\times10^{-2}\;Q + 26{,}6,}
com N em kW e Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}. Assim, se você obtiver Q_{\text{op}} substitui nessa fórmula para achar a potência absorvida naquele ponto.

Passo 6

  • Eu já converti os dados do fabricante em fórmulas práticas que você pode usar na prova: a curva da bomba \mathrm{H}_{e}(Q) e a curva de potência N(Q) aproximadas por parábolas (veja acima).
  • Para achar o ponto de operação numérico, traga os valores do sistema: \mathrm{H}_{\text{estática}}á e k (ou uma curva \mathrm{H}_{\text{sys}}(Q)). Aí basta igualar \mathrm{H}_{e}(Q) e \mathrm{H}_{\text{sys}}(Q) e resolver a quadrática, escolhendo a raiz positiva e fisicamente plausível.
  • Vai dar certo — você já tem a curva da bomba pronta; quando tiver a curva do sistema eu te mostro passo a passo a resolução da quadrática e como decidir qual raiz tomar e como calcular a potência e a eficiência se precisar. Força, você chega lá!

Resposta

\mathrm{H}_{e}(Q)\approx -2{,}3097\times10^{-5}\;Q^{2} - 4{,}941\times10^{-3}\;Q + 27{,}8 (com Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} e \mathrm{H}_{e} em m)
Não é possível determinar numericamente o ponto de operação ( Q_{\text{op}}) sem a curva do sistema hidráulico (valor de \mathrm{H}_{\text{estática}}á e coeficiente k ou \mathrm{H}_{\text{sys}}(Q)); quando esses dados forem fornecidos, equaciona‑se \mathrm{H}_{e}(Q)=\mathrm{H}_{\text{sys}}(Q) e resolve‑se a quadrática para Q_{\text{op}}.

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