Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal
. Um aquecedor de 10 kW , bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de temperatura da água
Passo 1
O enunciado pede: determinar o aumento de temperatura da água que escoa, em regime permanente, de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e bocal de área de seção transversal
, quando um aquecedor de potência
envolve o tubo (o aquecedor é bem isolado termicamente).
Informações fornecidas no enunciado:
Informações fornecidas no enunciado:
- Potência fornecida pelo aquecedor:
. - Área da seção do bocal:
. - Escoamento em regime permanente (estado estacionário).
- Reservatório grande e aberto (pressão na superfície e na saída igual à atmosférica).
O enunciado NÃO dá a vazão de escoamento nem a carga hidráulica (alturaentre superfície livre e o bocal) nem a velocidade de saída . Essas informações são essenciais para obter um valor numérico do aumento de temperatura.
Passo 2
Explicação física e fórmula geral de balanço de energia (didática, passo a passo).
Em regime permanente, a energia térmica fornecida pelo aquecedor que é absorvida pela água por unidade de tempo aumenta a entalpia (no caso de água incompressível e sem mudanças de fase isso equivale ao aumento de temperatura) e/ou pode aumentar energia cinética. Aqui assumimos que o aquecedor aquece o fluxo que atravessa o tubo e que as perdas por radiação/convecção para o ambiente são desprezíveis (o enunciado diz que o aquecedor é bem isolado). O balanço energético para o fluxo em regime permanente, desprezando trabalho de bomba e variações de potencial significativas do sólido, pode ser escrito de forma simples como:
Em regime permanente, a energia térmica fornecida pelo aquecedor que é absorvida pela água por unidade de tempo aumenta a entalpia (no caso de água incompressível e sem mudanças de fase isso equivale ao aumento de temperatura) e/ou pode aumentar energia cinética. Aqui assumimos que o aquecedor aquece o fluxo que atravessa o tubo e que as perdas por radiação/convecção para o ambiente são desprezíveis (o enunciado diz que o aquecedor é bem isolado). O balanço energético para o fluxo em regime permanente, desprezando trabalho de bomba e variações de potencial significativas do sólido, pode ser escrito de forma simples como:
onde:
-
é a vazão mássica de água (kg/s), -
é o calor específico a pressão constante da água (aproximadamente a temperatura ambiente), -
é o aumento de temperatura (K), -
é a potência térmica fornecida pelo aquecedor (W).
Essa fórmula vem da definição de calor sensível: para uma massa
de fluido, a energia necessária para elevar sua temperatura em
é
. Em regime permanente, consideramos o fluxo de massa por unidade de tempo
.
Passo 3
Relacionando
com velocidade e área (como obter a vazão mássica).
A vazão mássica é dada por
A vazão mássica é dada por
onde:
-
é a densidade da água ( ), -
é a área da seção transversal do bocal ( ), -
é a velocidade média de saída no bocal ( ), -
é a vazão volumétrica ( ).
Portanto, substituindo em
, obtemos:
Nesta expressão todas as grandezas estão definidas; a incógnita prática é a velocidade
(ou, equivalentemente, a vazão volumétrica
).
Passo 4
Como obter
a partir da geometria do problema (Torricelli / Bernoulli) — quando aplicável.
Se o reservatório é “grande” (superfície praticamente em repouso) e a saída está na base com pressão atmosférica, a velocidade de saída pode ser aproximada pela fórmula de Torricelli (resultado simplificado da equação de Bernoulli sem perdas significativas e para saída para a mesma pressão atmosférica):
Se o reservatório é “grande” (superfície praticamente em repouso) e a saída está na base com pressão atmosférica, a velocidade de saída pode ser aproximada pela fórmula de Torricelli (resultado simplificado da equação de Bernoulli sem perdas significativas e para saída para a mesma pressão atmosférica):
onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a diferença de altura entre a superfície livre do reservatório e o centro da seção de saída (m).
Mas o enunciado NÃO fornece. Sem (ou sem a vazão medida), não é possível obter um valor numérico para .
Passo 5
Simplificação numérica da fórmula em função de
para facilitar uso em prova sem calculadora.
Use os valores típicos: ,
,
,
. Substituindo na expressão
Use os valores típicos:
obtemos (fazendo a multiplicação do denominador):
portanto
onde
está em
. Essa é uma forma prática: para obter
basta dividir
por
.
Passo 6
Converter em função da altura
(se quiser usar Torricelli).
Se usar , substitui-se na expressão acima e obtém-se
Se usar
onde
está em metros. Assim, por exemplo:
- se
, ; - se
, .
Esses números são apenas ilustrações de como o resultado varia com.
Passo 7
Conclusão sobre a possibilidade de cálculo numérico e orientação prática para a prova.
- Resultado final em forma utilizável na prova:
com
em
.
- Se for dado um valor de
, usar e então
- Sem um valor numérico para a vazão
ou para a altura , NÃO é possível calcular um valor numérico único para . Portanto, na prova: se o enunciado não der vazão ou altura, solicite (ou indique) que falta essa informação; se der ou , aplique a fórmula acima.
Resposta
Não é possível calcular um valor numérico sem conhecer a velocidade de saída