Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal \mathrm{A}=560 \mathrm{~mm} 2. Um aquecedor de 10 kW , bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de temperatura da água

Passo 1

O enunciado pede: determinar o aumento de temperatura da água que escoa, em regime permanente, de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e bocal de área de seção transversal \mathrm{A}=560\\ \mathrm{mm}^2, quando um aquecedor de potência 10\\ \mathrm{kW} envolve o tubo (o aquecedor é bem isolado termicamente).
Informações fornecidas no enunciado:
  • Potência fornecida pelo aquecedor: \dot Q = 10\\ \mathrm{kW} = 10000\\ \mathrm{W}.
  • Área da seção do bocal: A = 560\\ \mathrm{mm}^2 = 560\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 5,60\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • Escoamento em regime permanente (estado estacionário).
  • Reservatório grande e aberto (pressão na superfície e na saída igual à atmosférica).
    O enunciado NÃO dá a vazão de escoamento nem a carga hidráulica (altura \,h entre superfície livre e o bocal) nem a velocidade de saída v. Essas informações são essenciais para obter um valor numérico do aumento de temperatura.

Passo 2

Explicação física e fórmula geral de balanço de energia (didática, passo a passo).
Em regime permanente, a energia térmica fornecida pelo aquecedor que é absorvida pela água por unidade de tempo aumenta a entalpia (no caso de água incompressível e sem mudanças de fase isso equivale ao aumento de temperatura) e/ou pode aumentar energia cinética. Aqui assumimos que o aquecedor aquece o fluxo que atravessa o tubo e que as perdas por radiação/convecção para o ambiente são desprezíveis (o enunciado diz que o aquecedor é bem isolado). O balanço energético para o fluxo em regime permanente, desprezando trabalho de bomba e variações de potencial significativas do sólido, pode ser escrito de forma simples como:
\dot m\, c_p\, \Delta T = \dot Q,
onde:
  • \dot m é a vazão mássica de água (kg/s),
  • c_p é o calor específico a pressão constante da água (aproximadamente c_p \approx 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} a temperatura ambiente),
  • \Delta T é o aumento de temperatura (K),
  • \dot Q é a potência térmica fornecida pelo aquecedor (W).
Essa fórmula vem da definição de calor sensível: para uma massa m de fluido, a energia necessária para elevar sua temperatura em \Delta T é m c_p \Delta T. Em regime permanente, consideramos o fluxo de massa por unidade de tempo \dot m.

Passo 3

Relacionando \dot m com velocidade e área (como obter a vazão mássica).
A vazão mássica é dada por
\dot m = \rho\, \dot V = \rho\, A\, v,
onde:
  • \rho é a densidade da água ( \rho \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • A é a área da seção transversal do bocal ( \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade média de saída no bocal ( \mathrm{m/s}),
  • \dot V = A v é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
Portanto, substituindo em \dot m\, c_p\, \Delta T = \dot Q, obtemos:
\Delta T = \dfrac{\dot Q}{\rho\, A\, v\, c_p}.
Nesta expressão todas as grandezas estão definidas; a incógnita prática é a velocidade v (ou, equivalentemente, a vazão volumétrica \dot V).

Passo 4

Como obter v a partir da geometria do problema (Torricelli / Bernoulli) — quando aplicável.
Se o reservatório é “grande” (superfície praticamente em repouso) e a saída está na base com pressão atmosférica, a velocidade de saída pode ser aproximada pela fórmula de Torricelli (resultado simplificado da equação de Bernoulli sem perdas significativas e para saída para a mesma pressão atmosférica):
v \approx \sqrt{2 g h},
onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( g \approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a diferença de altura entre a superfície livre do reservatório e o centro da seção de saída (m).
    Mas o enunciado NÃO fornece h. Sem h (ou sem a vazão v medida), não é possível obter um valor numérico para \Delta T.

Passo 5

Simplificação numérica da fórmula em função de v para facilitar uso em prova sem calculadora.
Use os valores típicos: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, A = 5{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, \dot Q=10000\\ \mathrm{W}. Substituindo na expressão
\Delta T = \dfrac{\dot Q}{\rho\, A\, v\, c_p}
obtemos (fazendo a multiplicação do denominador):
\rho\, A\, c_p = 1000 \times 5{,}60\times10^{-4} \times 4180 \approx 2{,}340{,}8,
portanto
\Delta T \approx \dfrac{10000}{2{,}340{,}8\; v} \approx \dfrac{4{,}273}{v}\\ \text{K},
onde v está em \mathrm{m/s}. Essa é uma forma prática: para obter \Delta T basta dividir 4{,}273 por v.

Passo 6

Converter em função da altura h (se quiser usar Torricelli).
Se usar v=\sqrt{2 g h}, substitui-se na expressão acima e obtém-se
\Delta T(h) \approx \dfrac{4{,}273}{\sqrt{2 g h}} = \dfrac{4{,}273}{\sqrt{19{,}62\; h}} \approx \dfrac{0{,}9646}{\sqrt{h}}\\ \text{K},
onde h está em metros. Assim, por exemplo:
  • se h=1\\ \mathrm{m}, \Delta T\approx 0{,}965\\ \mathrm{K};
  • se h=10\\ \mathrm{m}, \Delta T\approx 0{,}305\\ \mathrm{K}.
    Esses números são apenas ilustrações de como o resultado varia com h.

Passo 7

Conclusão sobre a possibilidade de cálculo numérico e orientação prática para a prova.
  • Resultado final em forma utilizável na prova:
\Delta T = \dfrac{\dot Q}{\rho\, A\, v\, c_p} \approx \dfrac{4{,}273}{v}\\ \text{K},
com v em \mathrm{m/s}.
  • Se for dado um valor de h, usar v=\sqrt{2 g h} e então
\Delta T(h) \approx \dfrac{0{,}9646}{\sqrt{h}}\\ \text{K}.
  • Sem um valor numérico para a vazão v ou para a altura h, NÃO é possível calcular um valor numérico único para \Delta T. Portanto, na prova: se o enunciado não der vazão ou altura, solicite (ou indique) que falta essa informação; se der h ou v, aplique a fórmula acima.

Resposta

\displaystyle \Delta T=\dfrac{\dot Q}{\rho\,A\,v\,c_p}\approx\dfrac{4{,}273}{v}\\ \text{K}.
Não é possível calcular um valor numérico sem conhecer a velocidade de saída v (ou a altura h que determina v=\sqrt{2gh}).

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