PROBLEMA #3: O modelo de um míssil intercontinental será testado em um túnel hidrodinâmico para determinar as forças que agiriam no futuro protótipo. O modelo é
do míssil que será construído. Se a velocidade máxima admissível do protótipo é
, e suas dimensões projetadas são 2 m de diâmetro e
de comprimento, determine:
a) qual deverá ser a velocidade da água no túnel para alcançar semelhança dinâmica??
b) quais as dimensões do modelo?
Propriedades
Água condição padrão
Ar a 10000 m
Massa Específica
998
0,414
Viscosidade
a) qual deverá ser a velocidade da água no túnel para alcançar semelhança dinâmica??
b) quais as dimensões do modelo?
| Propriedades | Água condição padrão | Ar a 10000 m |
| Massa Específica
|
998 | 0,414 |
| Viscosidade
|
|
|
Passo 1
O que o enunciado pergunta e os dados que temos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
-
Pedido:
(a) velocidade da água no túnel para obter semelhança dinâmica entre modelo e protótipo;
(b) dimensões do modelo. -
Dados do protótipo:
- velocidade admissível
, - diâmetro
, - comprimento
.
- velocidade admissível
-
Escala do modelo:
(ou seja, razão linear ). -
Propriedades dos fluidos (peguei da tabela):
- ar a
: massa específica , viscosidade dinâmica . - água (condição padrão): massa específica
, viscosidade dinâmica .
- ar a
Observação: a dimensão característica que usaremos para semelhança será o comprimento
do míssil (poder-se-ia também usar diâmetro; aqui escolhi o comprimento porque normalmente se usa a dimensão de referência ao longo do corpo para fluxo externo em corpos alongados).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e simples):
Para conseguir semelhança dinâmica entre modelo e protótipo, precisamos igualar o número adimensional que domina o comportamento entre forças inerciais e viscosas no escoamento externo: o número de Reynolds. Igualar o número de Reynolds assegura que as proporções entre forças inerciais e viscosas sejam as mesmas no modelo e no protótipo, o que é essencial para que as distribuições de forças (arrasto, sustentação, etc.) sejam comparáveis.
Passo 3
Fórmula do número de Reynolds e definição das variáveis:
onde:
-
é a massa específica do fluido ( ), -
é a velocidade característica do objeto relativamente ao fluido ( ), -
é a dimensão linear característica escolhida ( ; aqui usamos o comprimento do corpo), -
é a viscosidade dinâmica do fluido ( ).
Para semelhança dinâmica queremos:
Passo 4
Escrever a igualdade dos Reynolds e isolar
. Começando:
Isolando
:
Como a escala linear é
, tem-se
. Substituiremos os números em seguida.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (cada passo explicado):
- razão de densidades:
- razão de viscosidades:
- razão de comprimentos:
Agora multiplicando tudo e o
:
Calculemos em etapas:
Arredondando razoavelmente, a velocidade da água deve ser aproximadamente
.
Comentário prático rápido: isso corresponde a cerca de
. É uma velocidade alta, mas dentro do alcance de túneis hidrodinâmicos industriais dependendo da instalação.
Passo 6
Verificação (opcional e curta): por construção, com esse
a igualdade dos Reynolds será satisfeita. Se quiser checar, pode calcular
e verificar que
usando os números; pela fórmula derivada isso ocorrerá.
Passo 7
Dimensões do modelo (escala linear
, passo a passo):
- comprimento do modelo:
- diâmetro do modelo:
Portanto o modelo terá comprimento
e diâmetro
.
Passo 8
Resumo final e incentivo: então, para garantir semelhança dinâmica pelo mesmo número de Reynolds entre o míssil real (ar a 10000 m) e o modelo no túnel de água, o túnel deve fornecer cerca de
e o modelo deve ter as dimensões escala
(comprimento
, diâmetro
). Você chegou longe — essa é a ideia principal que cairá na prova: igualar o número adimensional correto (aqui Reynolds) e aplicar a razão de escala.
Resposta
(a)
(b)
(b)