PROBLEMA #3: O modelo de um míssil intercontinental será testado em um túnel hidrodinâmico para determinar as forças que agiriam no futuro protótipo. O modelo é 1 / 20 do míssil que será construído. Se a velocidade máxima admissível do protótipo é 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e suas dimensões projetadas são 2 m de diâmetro e 22,5 \mathrm{~m} de comprimento, determine:
a) qual deverá ser a velocidade da água no túnel para alcançar semelhança dinâmica??
b) quais as dimensões do modelo?
Propriedades Água condição padrão Ar a 10000 m
Massa Específica \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) 998 0,414
Viscosidade (\mathrm{Pa} \mathrm{s}) 1,002 \times 10^{-3} 1,458 \times 10^{-5}

Passo 1

O que o enunciado pergunta e os dados que temos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Pedido:
    (a) velocidade da água no túnel para obter semelhança dinâmica entre modelo e protótipo;
    (b) dimensões do modelo.
  • Dados do protótipo:
    • velocidade admissível U_p = 100\\ \mathrm{m/s},
    • diâmetro D_p = 2{,}0\\ \mathrm{m},
    • comprimento L_p = 22{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Escala do modelo: 1/20 (ou seja, razão linear \lambda = 1/20).
  • Propriedades dos fluidos (peguei da tabela):
    • ar a 10000\\ \mathrm{m}: massa específica \rho_{\text{ar}} = 0{,}414\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade dinâmica \mu_{\text{ar}} = 1{,}458\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • água (condição padrão): massa específica \rho_{\text{água}} = 998\\ \mathrm{kg/m^3}á, viscosidade dinâmica \mu_{\text{água}} = 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}á.
Observação: a dimensão característica que usaremos para semelhança será o comprimento L do míssil (poder-se-ia também usar diâmetro; aqui escolhi o comprimento porque normalmente se usa a dimensão de referência ao longo do corpo para fluxo externo em corpos alongados).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e simples):
Para conseguir semelhança dinâmica entre modelo e protótipo, precisamos igualar o número adimensional que domina o comportamento entre forças inerciais e viscosas no escoamento externo: o número de Reynolds. Igualar o número de Reynolds assegura que as proporções entre forças inerciais e viscosas sejam as mesmas no modelo e no protótipo, o que é essencial para que as distribuições de forças (arrasto, sustentação, etc.) sejam comparáveis.

Passo 3

Fórmula do número de Reynolds e definição das variáveis:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U\,L}{\mu}
onde:
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • U é a velocidade característica do objeto relativamente ao fluido ( \mathrm{m/s}),
  • L é a dimensão linear característica escolhida ( \mathrm{m}; aqui usamos o comprimento do corpo),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}).
Para semelhança dinâmica queremos:
\mathrm{Re}_{\text{protótipo}}=\mathrm{Re}_{\text{modelo}}.ó

Passo 4

Escrever a igualdade dos Reynolds e isolar U_{\text{modelo}}. Começando:
\frac{\rho_{\text{ar}}\,U_p\,L_p}{\mu_{\text{ar}}} = \frac{\rho_{\text{água}}\,U_m\,L_m}{\mu_{\text{água}}}áá
Isolando U_m:
U_m = \frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{água}}}\cdot\frac{\mu_{\text{água}}}{\mu_{\text{ar}}}\cdot\frac{L_p}{L_m}\cdot U_p.áá
Como a escala linear é \lambda = L_m/L_p = 1/20, tem-se \dfrac{L_p}{L_m}=20. Substituiremos os números em seguida.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (cada passo explicado):
  • razão de densidades:
\frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{água}}}=\frac{0{,}414}{998}\approx 0{,}00041483.á
  • razão de viscosidades:
\frac{\mu_{\text{água}}}{\mu_{\text{ar}}}=\frac{1{,}002\times10^{-3}}{1{,}458\times10^{-5}} \approx 68{,}7937.á
  • razão de comprimentos:
\frac{L_p}{L_m}=20.
Agora multiplicando tudo e o U_p:
U_m \approx 0{,}00041483 \times 68{,}7937 \times 20 \times 100\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos em etapas:
0{,}00041483\times68{,}7937\approx 0{,}02854,
0{,}02854\times20=0{,}5708,
0{,}5708\times100=57{,}08\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente, a velocidade da água deve ser aproximadamente 57{,}1\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático rápido: isso corresponde a cerca de 57{,}1\times3{,}6\approx205{,}6\\ \mathrm{km/h}. É uma velocidade alta, mas dentro do alcance de túneis hidrodinâmicos industriais dependendo da instalação.

Passo 6

Verificação (opcional e curta): por construção, com esse U_m a igualdade dos Reynolds será satisfeita. Se quiser checar, pode calcular
\mathrm{Re}_p=\frac{\rho_{\text{ar}}U_pL_p}{\mu_{\text{ar}}}
e verificar que \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p usando os números; pela fórmula derivada isso ocorrerá.

Passo 7

Dimensões do modelo (escala linear 1/20, passo a passo):
  • comprimento do modelo:
L_m=\frac{L_p}{20}=\frac{22{,}5}{20}=1{,}125\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro do modelo:
D_m=\frac{D_p}{20}=\frac{2{,}0}{20}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
Portanto o modelo terá comprimento 1{,}125\\ \mathrm{m} e diâmetro 0{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resumo final e incentivo: então, para garantir semelhança dinâmica pelo mesmo número de Reynolds entre o míssil real (ar a 10000 m) e o modelo no túnel de água, o túnel deve fornecer cerca de 57{,}1\\ \mathrm{m/s} e o modelo deve ter as dimensões escala 1/20 (comprimento 1{,}125\\ \mathrm{m}, diâmetro 0{,}1\\ \mathrm{m}). Você chegou longe — essa é a ideia principal que cairá na prova: igualar o número adimensional correto (aqui Reynolds) e aplicar a razão de escala.

Resposta

(a) U_{\text{água}}\approx 57{,}1\\ \mathrm{m/s}á
(b) D_{\text{modelo}}=0{,}1\\ \mathrm{m},\quad L_{\text{modelo}}=1{,}125\\ \mathrm{m}

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